黄金率矩形
公元前5世纪的古希腊建筑师已经晓得这种协调性的影响．巴特农神殿就是应用黄金矩形的一个早期建筑的例子．那时的古希腊人已经具有黄金均值及如何作它的知识，还知道如何近似于它以及如何用它来构造黄金矩形．黄金均值φ（phi）的读音，与古希腊著名雕塑家菲狄亚斯（Phidias）名字的头三个字母相同想来并非只是巧合．相信菲狄亚斯在他的作品中用了黄金均值和黄金矩形．既然毕达哥拉斯所处的那个社会能够选择五角星作为等级的一种记号，那么用φ表示黄金均值也就很难说与菲狄亚斯没有一点关系．
除了影响建筑之外，黄金矩形还出现在艺术中．在公元1509年L·帕西欧里的《神奇的比例》一书中，达·芬奇为人体结构中的黄金均值作了图解．黄金均值用在艺术上是以生动的对称技巧为标志．A·丢勒、G·西雷特、P·曼诸利安、达·芬奇、S·达利、G·贝娄等人，都在他们的一些作品中用黄金矩形去创造富有生气的对称．
短边与长边之比为黄金比即0.618的矩形，称作黄金比矩形，也称作黄金率矩形。黄金率矩形的美感在于：首先，黄金率矩形具有肯定外形的美感。其次，黄金率长方形在视觉上能产生独特的韵律美感。
一个黄金矩形中除去正方形后所余部分，仍是一个缩小了的黄金矩形，这个缩小了的黄金矩形还可以按同一比例，分割出递次缩小的无穷个同比率的黄金矩形（黄金矩形这种可被无穷的划分为一个正方形和一个矩形性质，正是外形“肯定性”的表现，也形成“动态均衡”的严格制约）。如把所得的各正方形的有关顶点，用以相对应的正方形边长为半径的圆弧连接，这些圆弧连接后成为一根特殊的涡线-黄金涡线。涡线在无限消失点的地方形成矩形的涡眼点，这条黄金涡线具有“生生不竭”的特征，在视觉上造成独特的韵律美感，这种美感是有其心理和生理缘故的。
人的双眼在固定视点时，两眼由于平行的间距，在理论上我们可将一只眼睛所见焦点作圆心，用另只眼睛的焦点作半径可形成一个重迭的视圈，将这双眼重迭视域简化为矩形的话，那幺这个矩形刚好与黄金矩形近似。因此，以黄金矩形的两个涡眼（我们可在图中作出左边一个涡眼）作为人眼平视凝停点，最能产生视觉舒适感（人眼有重心偏高的视觉习惯）。人眼这种生理机制特质，与客观物象变化规律的契合，使得黄金矩形所具有的“黄金涡线”式的生生不息、变化无穷的现象，符合了统一与变化的原理，造成视觉上的最佳兴趣而引起人们的普遍美感。
黄金比例及黄金矩形所具有的这些美感，使得它从古希腊直到十九世纪，被认为在造型艺术上具有很高的美学价值。世界上许多美好的造型都是依这个比例创造出来的。如维纳斯女神和阿波罗太阳神的塑像、古希腊建筑雅典女神庙及巴黎圣母院、巴黎埃菲尔铁塔等，都与黄金分割比有着密切的关系。我国古代的秦砖、汉瓦，其比例也近似于黄金比。现代生活中的窗户、桌面、报纸、书刊版面、电影片基也都与黄金比有关。不但如此，大自然中的许多自然形态的结构也与黄金比有关。
从几何意义上讲，黄金矩形很容易通过以下步骤作出：
1）给定任一线段AC，用B点将线段AC分割出一个黄金均值段，作正方形ABED．
2）作CF⊥AC．
3）延长射线DE，使得线DE与CF交于F点．
则ADN是一个黄金矩形．
黄金矩形也可以不用已有的黄金均值段作出：
1）作任意正方形ABCD．
2）用线段MN将正方形平分为两半．
3）用圆规，以N为中心，以|CN|为半径作弧．
4）延长射线AB直至与以上的弧相交于E点．
5）延长射线DC．
6）作线段EF⊥AE，并令射线DC与EF交于F点．
则ADFE为一黄金矩形．
黄金矩形还能自我产生：从下面的黄金矩形ABCD出发，很容易通过画正方形ABEF的方法得到黄金矩形ECDF．再通过画正方形ECGH，容易构成黄金矩形DGHF．这样的过程可以无限地继续下去．
用最后得到的无穷多个紧挨着的黄金矩形，可以作出另一种类型的等角螺线（也称对数螺线）．如下图用圆规在一系列黄金矩形中的各个正方形里，画四分之一圆弧．这些弧便形成等角螺线的轮廓．
鹦鹉螺的外壳、象鼻、羊角、鹦鹉的爪子等等都是成等角螺线形的。仔细观察雏菊花蕊的排列，你会发现它们也是成等角螺线形。这种排列可以有两种看法：左旋的和右旋的。大部份雏菊的左旋数和右旋数是21和34，正是斐波拉契数列的相邻两项。松果、菠萝的鳞片也有类似的排列，而排列数各为5和8以及8和13，也是斐波拉契数列的相邻两项。向日葵也是一样，通常左旋数和右旋数各为34和55，更大的向日葵则有89和144，甚至144和233的排列数，都是斐波拉契数列中相邻的两项。有人说未尔吉(Vergil)和那时候的许多罗马诗人经常在他们的作品里应用斐波拉契数列；甚至钢琴的琴键在一个八度音之间有黑键五个，白键八个！斐波拉契数列到处可见。
斐波拉契数列相邻两项的比值趋近于黄金比律，由黄金长方形又可描出等角螺线，等角螺线又出现在松果、菠萝、雏菊、向日葵等，而它们的左右螺旋数又恰好是斐波拉契数列相邻的两项，自然之造物令人叹为观止！