矩阵的行初等变换包括：

(1) 对调两行

(2) 以数 k 乘以一行所有元素

(3) 把某一行的 k 倍加到另一行对应元素上去

矩阵的列初等变换与行初等变换相同。

行初等变换与列初等变换统称为初等变换。

若矩阵 A 经过有限次行初等变换变成 B，称 A 与 B 行等价；若 A 经过有限次列初等变换变成 B，则称 A 与 B 列等价；若 A 经过有限次初等变换变成 B，则称 A 与 B 等价。

矩阵的等价满足以下性质：

1. 反身性：A 等价于 A。

2. 对称性：若 A 等价于 B，则 B 等价于 A。

3. 传递性：若 A 等价于 B，且 B 等价于 C，则 A 等价于 C。

利用初等行变换解方程组：

解方程组 Ax = b。

其中：

A = [a_ij], x = [x_j], b = [b_j]

增广矩阵为：[A | b]

使用初等行变换化成行阶梯矩阵：

[A | b] 变为 [R_r | y]

其中 R_r 为行最简形（非零行的第一个非零元素为 1），对应的方程组为：

R_r x = y

可取任意常数，令 x = [c_j]，得：

R_r c = y

标准形：

对行最简形使用列初等变换，可变成更简单的矩阵，称为标准形（左上角是一个单位阵）：

[R_r | I_r]

任何矩阵都可以通过初等变换变成标准形，可以通过归纳法证明：

通过行初等变换消掉线性相关行，成为有 r 行线性无关行（非零行）的矩阵；然后将第 1 行除以第 1 行第 1 个元素，再将其它非零行减去其第 1 个元素倍的第 1 行，让其第一个元素化为 0。

然后，做列初等变换，找到第 2 行第 1 个非零元素是 1 的元素所在列，然后减去第 1 行第 1 个非零元素是 1 的元素所在列的倍数，使列向量正交，以此类推，直到得到 r 列两两正交的列向量。

标准形完全由 m, n, r 三个数确定。

矩阵的等价性质可用于证明：

定理：设 A 和 B 是 m×n 矩阵，那么：

(1) A 可通过行初等变换变成 B 的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P，使 PA = B。

(2) A 可通过列初等变换变成 B 的充分必要条件是存在 n 阶可逆矩阵 Q，使 AQ = B。

(3) A 可通过初等变换变成 B 的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q，使 PAQ = B。

证明：引入初等矩阵的概念。

定义：单位阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

初等矩阵可逆，且逆阵也是同一类型的初等矩阵。

方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 P, Q, ..., S，使 A = PSQ。

推论：方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 只需要初等行变换（或初等列变换）即可化成单位矩阵 I。