2024年全国高中数学联赛

一 试

一、填空题（每小题8分，共64分，）

1. 函数 的值域是 .

2. 已知函数 的最小值为 ，则实数 的取值范围是 .

3. 双曲线 的右半支与直线 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .

4. 已知 是公差不为 的等差数列， 是等比数列，其中 ，且存在常数 使得对每一个正整数 都有 ，则 .

5. 函数 在区间 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .

6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .

7. 正三棱柱 的9条棱长都相等， 是 的中点，二面角 ,则 .

8. 方程 满足 的正整数解（x,y,z）的个数是 .

二、解答题（本题满分56分）

9. （16分）已知函数 ，当 时， ，试求 的最大值.

10.（20分）已知抛物线 上的两个动点 ，其中 且 .线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，求 面积的最大值.

11.（20分）证明：方程 恰有一个实数根 ，且存在唯一的严格递增正整数数列 ，使得 +……

加 试

1. （40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．

2. （40分）设k是给定的正整数， ．记 ， ．证明：存在正整数m，使得 为一个整数．这里， 表示不小于实数x的最小整数，例如： ， ．

3. （50分）给定整数 ，设正实数 满足 N+，记

3……．

求证： ．

4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n边形 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？

一试答案

1. 提示：易知 的定义域是 ，且 在 上是增函数，从而可知 的值域为 .

2. 提示：令 ，则原函数化为 ，即

.

由 ， ， 及 知 即

. （1）

当 时（1）总成立；

对 ；对 .从而可知 .

3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑 轴上方的情况，设 与双曲线右半支于 ,交直线 于 ，则线段 内部的整点的个数为 ，从而在 轴上方区域内部整点的个数为

.

又 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 .

4. 提示 ：设 的公差为 的公比为 ，则

（1）

， （2）

（1）代入（2）得 ，求得 .

从而有 对一切正整数 都成立，即 对一切正整数 都成立.

从而

，

求得 ， .

5. 提示：令 则原函数化为 , 在 上是递增的.

当 时， ,

，

所以

；

当 时， ，

，

所以

.

综上 在 上的最小值为 .

6. 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为 ，从而先投掷人的获胜概率为

.

7. 提示：解法一：如图，以 所在直线为 轴，线段 中点 为原点， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则 ，从而， .

设分别与平面 、平面 垂直的向量是 、 ，则

由此可设 ，所以 ，即

.

所以 .

解法二：如图， .

设 与 交于点 则 .

从而 平面 .

过 在平面 上作 ,垂足为 .

连结 ,则 为二面角 的平面角.设 ,则易求得 .

在直角 中， ,即 .

又 .

.

8. 336675 提示：首先易知 的正整数解的个数为 .

把 满足 的正整数解分为三类：

（1） 均相等的正整数解的个数显然为1；

（2） 中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；

(3)设 两两均不相等的正整数解为 .

易知

，

所以

，

即

.

从而满足 的正整数解的个数为

.

9. 解法一： 由 得

.

所以

，

所以 . 又易知当 （ 为常数）满足题设条件，所以 最大值为 .

解法二： . 设 ，则当 时， .

设 ，则 .

.

容易知道当 时， . 从而当 时， ， 即

，

从而 , ，由 知 .

又易知当 （ 为常数）满足题设条件，所以 最大值为 .

10. 解法一：设线段 的中点为 ，则 ，

.

线段 的垂直平分线的方程是

. （1）

易知 是（1）的一个解，所以线段 的垂直平分线与 轴的交点 为定点，且点 坐标为 .

由（1）知直线 的方程为 ，即

. （2）

（2）代入 得 ，即

. （3）

依题意， 是方程（3）的两个实根，且 ，所以

,

.

.

定点 到线段 的距离

.

.

当且仅当 ，即 , 或 时等号成立.

所以， 面积的最大值为 .

解法二：同解法一，线段 的垂直平分线与 轴的交点 为定点，且点 坐标为 .

设 ，则 的绝对值,

,

所以 , 当且仅当 且 ，即 , 或

时等号成立.

所以， 面积的最大值是 .

11.令 ，则 ，所以 是严格递增的.又 ，故 有唯一实数根 .

所以 ，

.

故数列 是满足题设要求的数列.

若存在两个不同的正整数数列 和 满足

，

去掉上面等式两边相同的项，有

，

这里 ，所有的 与 都是不同的.

不妨设 ，则

，

，

矛盾.故满足题设的数列是唯一的.

加试答案

1. 用反证法．若A，B，D，C不四点共圆，设三角形ABC的外接圆与AD交于点E，连接BE并延长交直线AN于点Q，连接CE并延长交直线AM于点P，连接PQ．

因为 P的幂（关于⊙O） K的幂（关于⊙O）

，

同理

，

所以 ，

故 ⊥ ． 由题设，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是

． ①

由梅内劳斯（Menelaus）定理，得

， ②

． ③

由①，②，③可得 ， 所以 ，故△DMN ∽ △DCB，于是 ，所以BC∥MN，故OK⊥BC，即K为BC的中点，矛盾！从而 四点共圆.

注1：“ P的幂（关于⊙O） K的幂（关于⊙O）”的证明：延长PK至点F，使得

， ④

则P，E，F，A四点共圆，故

，

从而E，C，F，K四点共圆，于是

， ⑤

⑤-④，得

P的幂（关于⊙O） K的幂（关于⊙O）．

注2：若点E在线段AD的延长线上，完全类似．

2. 记 表示正整数n所含的2的幂次．则当 时， 为整数．

下面我们对 用数学归纳法．

当 时，k为奇数， 为偶数，此时

为整数．

假设命题对 成立．

对于 ，设k的二进制表示具有形式

，

这里， 或者1， ．

于是

， ①

这里

.

显然 中所含的2的幂次为 ．故由归纳假设知， 经过f的v次迭代得到整数，由①知， 是一个整数，这就完成了归纳证明．

3. 由 知，对 ，有 ．

注意到当 时，有 ，于是对 ，有

，

故

．

4. 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a，如果颜色不同，则标上b，如果数字和颜色都相同，则标上c．于是对于给定的点 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点 上的设置．为了使得最终回到 时的设置与初始时相同，标有a和b的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a，b，c，使得标有a和b的边都是偶数条的方法数的4倍．

设标有a的边有 条， ，标有b的边有 条， ．选取 条边标记a的有 种方法，在余下的边中取出 条边标记b的有 种方法，其余的边标记c．由乘法原理，此时共有 种标记方法．对i，j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为

． ①

这里我们约定 ．

当n为奇数时， ，此时

． ②

代入①式中，得

．

当n为偶数时，若 ，则②式仍然成立；若 ，则正n边形的所有边都标记a，此时只有一种标记方法．于是，当n为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为

．

综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n为奇数时有 种；当n为偶数时有 种．

2024全国高中数学联赛

点评

10月17日结束的全国高中数学联赛满分300分，其中一试120分共11道试题80分钟，二试180分共4道试题150分钟。

总体来看，今年一试的小题难度基本与去年持平，而大题难度则略高于去年。二试的平几问题较难，与去年基本相同，而后面的三道大题难度与去年相比有明显的下降。因此，预计今年北京市一等奖的分数线可能基本与去年持平，略高几分，大致应该在160分左右；但是由于二试后三道大题中没有去年最后一题那样的超难题，对北京市市队水平的同学来说基本上都是常规问题，因此今年北京市进入冬令营的线（前八名）可能会非常高，可能会在240分以上，250分左右，最高分可能会在280以上。

笔者在第一时间了解了几个高水平省市的情况，其中广东省可能会有满分的同学，而湖南省最高分可能是280分以上，来自长沙一中；湖北省方面华师一附中250分以上的同学可能至少会有四五人并有人接近满分。

以下对本套试题进行逐题简单点评：

由于公式输入比较困难，建议本次未参加比赛的同学下载由我录入的PDF版试题并打印然后自己先做，做完后自行核对答案。点评中不再给出详细答案。

1、本题很简单，给定函数显然为增，从而极值在边界处得到；

2、看了答案可能会认为本题不难，事实上命题人将此题放在第二题可见命题人也认为它很简单；但是考场上的实情是有很多同学甚至包括不少高手都卡在了这一题上。原因是大家习惯了高中的求导求极值的处理方式，没有把-3挪到左边来，这样最后的结果是非常复杂的，讨论甚至进行不下去，因为最后化到了一个三次函数；而标答中给出的分解因式方法事实上也需要一定的运算量；

回想一下近年来的考题，前年的一试第二道大题也是利用分解因式来求解，但是解出者寥寥。原因可能是经过高中两年多的学习之后大多数同学对分解因式这种“低级技巧”接触的很少了。

3、利用枚举法很容易就得到和为9800。但搞笑的是标答中竟然给出了一个很经典的错误答案，甚至有不少同学也得到了那个答案。

4、这是标准的高考题，如果把它放在高考试卷中没有人会感到奇怪。送分题。

5、仍然是一道标准的送分题。

6、典型的几何概型问题，简单计算即可得到答案；问题是标答中竟然没有约分。

7、仍然是标准的高考立体几何大题的题型，只不过把它当成填空题来用。

8、组合计数问题，事实上用枚举来一一举出并求和来的更快。难度不大。

9、第一道大题，个人认为这道题目还是有些难度的，如果没有见过类似问题的话。不过这种题型大概每位受过竞赛训练的同学可能都接触过不少次，应该没有太大问题。

10、要算出三角形面积需要定出边长和点到边的距离，这个运算量不小，最后算最大值不论是均值或是求导都可以轻松得到。不过要想算出取等时的坐标计算量是很夸张的，我估计只有极个别的同学在考场上给出了这个坐标值。

11、要证明原方程只有一个实根，只需证明导函数大于零，这是很显然的。接下来的证明其实对于竞赛基础比较强的同学来说可能就是常识了，只是一个书写速度问题。但是大部分同学面对这种问题还是很头痛的，特别是由于前面的问题运算量不小，大部分同学看到本题时时间已经不多了。事实上我们可以证明推广的命题，题目中的0.4可以改为任何一个小于0.5的数。证明的基本思路是利用等比数列求和与放缩。

一试的总结：代数味道十分浓厚；大部分题目与高考难度持平；运算量极大；2、10、11是较难的题目。如果没有见到类似的题，那么9也较难。

但与以前的150分试卷相比，现在的一试试题难度已经下降的非常大。这一点大家可以随便找一份03-08的联赛真题对比一下就会发现。

今年大家一试分数可能也不会很高，原因一是很多同学在第2小题上就卡住了；二是运算量太大，最后两道题可能来不及写完。

接下来我们来看二试：

第一道是平几问题，40分。去年的平几问题图形比较复杂，是03年的集训队选拔题改编而来。今年的题目难度可能比去年的还要大，至少据我了解到的，只有屈指可数的几位超一流高手做出来了。大部分同学或者早早放弃，或者在本题上浪费了一个多小时之后无奈地放弃。这就导致两个结果：早早放弃的同学会非常占便宜，因为与去年相比，后面的三道题目可能都要容易一些。这样二试会得到很多分数。在本题浪费太多时间的同学就惨了，后面本来会做的题目可能会来不及做。

本题的图形非常简单，事实上本题就是完全四边形的一个基本性质，大家可以在《高等几何》等平面几何参考书上找到。如果有一些极点、极线的背景知识，可能本题会好做一些。本题可能在01年左右被用作集训队的选拔试题。

从去年和今年的平几题目来看，高一很多同学押一道平几的做法可能不好使了。因为这两道平几题目都非常地难，如果不了解一些相关背景知识很难想到标答中的那种做法。看来以后对平几的学习决不能仅限于区区几个平几著名定理了，一些以前被认为高深的东西例如极点极线、调和点列、调和四边形、反演与位似等等也需要了解一下，否则平几可能很难拿分了。

事实上综观十余年来的二试第一道平几题目，颇有几年出的非常难。以至于押平几的同学往往空手而归。明年是湖北省命题，湖北省的x教授对几何的研究也非常深入，且专门讲授《高等几何》，我估计明年的平几问题仍然是相当困难的。这一点各位同学要做好思想准备。

接下来看第二题，这道数论问题就非常简单了，与去年数论问题相比，本题难度完全就不在同一个层次上，对数论学习比较透彻的同学可能不到十分钟就会完全明了证明的步骤。事实上本题并不需要用到阶的专门知识，仅仅利用最简单的整除再加上简单的归纳即可完成证明。保守估计，北京市至少有一百余人完整完成了本题；

第三题是代数问题，一道不等式。这道不等式事实上是一道非常规的不等式。因为一般的不等式问题往往会用到一系列的重要不等式如均值、柯西之类。而本题甚至完全凭代数恒等变形就可以得到结果，最多在中间用了一个增函数的性质。可以说，一个优秀的初中生可能就可以完成此题。

本题难度不算太大，但要比第二题难度大一些，因为前面的恒等变形还是颇见功夫的。事实上标答中给出的方法并不算太好，把简单的问题复杂化了。我估计考场上绝大部分考生不是采用标答的方法解答的。

去年的不等式问题可能要比今年的稍简单一些。

从去年和今年的不等式问题形式我们可以看出，事实上由于利用柯西、均值不等式来解决的问题以及三元轮换对称不等式问题近年来已经被研究得比较透彻了，这方面的新题要么太简单要么过难不适合作为赛题；因此明年代数方面的命题我预计很有可能不会再考不等式，而是转向方程组求解、递归数列中的综合问题等；如果要考不等式，那么极有可能还是这种非主流不等式。

今年这种不等式问题事实上与去年的西部数学奥林匹克最后一题非常类似。有兴趣的同学不妨自行对比一下。

第四题：染色与计数问题。

作为一道压轴题，大家早已经习惯联赛二试最后一道题目全省仅有十来位同学做出来甚至全军覆没。压轴题超难，最好放弃基本上已经成为一种定势。但今年的压轴题显然没有这种难度。命题人可能认为这种计数是非常困难的，这从标答中给出的令人费解的、充满各种复杂符号的解答过程中可以看出来。

但是，如果从问题本质来看，我们可以把它视为一种“二维组合”，如果把0与1看做X轴上的0与1，把两种颜色看做Y轴上的0与1，那么我们考虑四种组合方式事实上就对应坐标平面上的四个点，我们连结它们得到一个正方形，那么事实上我们可以看做是一只“青蛙”在这个正方形四个顶点上的移动，每次它可以原地不动，也可以跳往相邻顶点，但不能跳往对顶点；这样我们就可以利用递推数列来做了，很方便地就可以得到三组递推关系，并可以计算出初值为27；接下来的求解递推数列通项是非常常规的问题了。

这种正方形的方法，似乎与01年CMO中的“太空城”问题稍有点类似，不过那道问题的难度要远远高于本题：

而求解递归数列通项的方法，则与大家熟悉的青蛙跳问题如出一辙。那个问题大概是中国为IMO所供的第一道题，似乎是齐东旭先生给出的。

二试总结：

第一道极难，估计北京市完整做出不会超出20人；第二道较容易；第三道稍难；最后一道是后三道中最难的，但与历年压轴题难度相比可能是十余年来最容易的一道。这直接导致今年北京市进营的分数线直线上升，可能会升到240以上。而一等奖的分数线由于二试较易，估计在一试85+二试70，也就是说160分左右甚至可能更高。