极坐标下的侧面积积分公式表达旋转面积为∫2πy ds，其中ds代表弧长。具体来说，y等于rsinθ，而ds的平方等于(dx)^2 + (dy)^2，简化后得到(ds)^2等于(r^2+r'^2)(dθ)^2。这样，绕极轴旋转的面积可以表示为∫2πrsinθ √(r^2+r'^2) dθ。

推导过程如下：我们先设定y等于rsinθ。接着，我们计算ds的平方，即弧长的平方，通过dx和dy的微分表示出来。这将产生一个式子，其中dx和dy分别用θ的微分表示。在简化后的式子中，我们发现ds的平方等于(r^2+r'^2)乘以dθ的平方。通过将弧长的表达式带入公式，并将ds的平方的表达式带入，我们得到了绕极轴旋转的面积公式。

总结，极坐标下的侧面积公式整合了弧长和旋转函数的特性，提供了一种计算绕极轴旋转面积的方法。通过将极坐标下函数y与弧长ds的平方表达式结合，我们可以利用积分计算旋转体的表面积。