S△F1PF2=b2/tan（θ/2）。

设边长PF1=m，PF2=n，则由余弦定理得：cosθ=(m^2+n^2-(2c)^2)/(2mn)=[(m-n)^2+2mn-4c^2]/(2mn)=1+[(m-n)^2-4c^2]/(2mn)。

双曲线焦点三角形面积公式

三角形的面积公式

S=1/2PF₁PF₂sinα=b^2sinα/(1-cosα)=b^2cot(α/2)。

设∠F₁PF₂=α。

双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1。

因为P在双曲线上，由定义|PF₁-PF₂|=2a

在焦点三角形中，由余弦定理得。

F₁F₂的平方=PF₁平方+PF₂平方-2PF₁PF₂cosα=|PF₁-PF₂|平方+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα，(2c)^2=(2a)^2+2PF₁PF₂-2PF₁PF₂cosα，PF₁PF₂=[(2c)^2-(2a)^2]/2(1-cosα)=2b^2/(1-cosα)。

方程推导：

椭圆和双曲线标准方程的推导方法大致有两种：一种是教材上移项平方的方法，另一种是资料上常见的构造对偶式的方法．这两种方法的运算量都比较大，尤其前一种方法需要两次移项平方．最近。

在进行椭圆的教学时，又发现了一种运算量较小的办法，即根据圆和椭圆的方程都具备“二元二次”的特征，可通过构造圆的方程能简化椭圆标准方程的推导过程，而该方法也同样适用于双曲线标准方程的推导。