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正弦函数y=sinx有哪些性质
时间:2024-12-23 20:03:21
答案

正弦函数

y=sinx

在直角三角形ABC中,∠C=90°,AB是∠C的对边c,BC是∠A的对边a,AC是∠B的对边b,正弦是sinA=a/c,即sinA=BC/AB。正弦函数是f(x)=sin(x)

图像

图像是波形图像(由单位圆投影到坐

正弦函数x∈&

标系得出), 叫做正弦曲线(sine curve)

定义域

实数集R

值域

[-1,1] (正弦函数有界性的体现)

最值和零点

①最大值:当x=2kπ+(π/2) ,k∈Z时,y(max)=1

②最小值:当x=2kπ+(3π/2),k∈Z时,y(min)=-1

零值点:(kπ,0) ,k∈Z

对称性

既是轴对称图形,又是中心对称图形。s

1)对称轴:关于直线x=(π/2)+kπ,k∈Z对称s

2)中心对称:关于点(kπ,0),k∈Z对称

周期性

最小正周期:y=sinx T=2π

奇偶性

奇函数 (其图象关于原点对称)

单调性

在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ],k∈Z上是单调递增.

在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ],k∈Z上是单调递减.

函数及性质

正弦型函数解析式:y=Asin(ωx+φ)+h

各常数值对函数图像的影响:

φ(初相位):决定波形与X轴位置关系或横向移动距离(左加右减)

ω:决定周期(最小正周期T=2π/|ω|)

A:决定峰值(即纵向拉伸压缩的倍数)

h:表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离(上加下减)

作图方法运用“五点法”作图

“五点作图法”即当ωx+φ分别取0,π/2,π,3π/2,2π时y的值.

单位圆定义

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同x轴正半部分得到一个角θ,并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于 sinθ。在这个图形中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边并有长度 1,所以有了 sinθ=y/1。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于 1 查看无限数目的三角形的一种方式。即sinθ=AB,与y轴正方向一样时正,否则为负

sina

对于大于 2π 或小于 0 的角度,简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下,正弦变成了周期为 2π的周期函数。

诱导公式

编辑

sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β

sin2α=2sin αcos α

sin(α+2kπ)=sin α

sin(-α)=-sin α

sin(π-α)=sin α

sin(π/2-α)=cos α

sin α=cos(π/2-α)

sin(π+α)=-sin α

sin(3π/2-α)=-cos α

sin(3π/2+α)=-cos α[1]

导数公式

若f(x)=sinx,则f^(x)=cosx

若f(x)=Asin(ωx+φ)+C,则f^(x)=Aωcos(ωx+φ)

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