泊松定理展示了在大量试验（n很大）且成功概率极小（p很小）的情况下，二项分布可以被泊松分布所近似。主要通过大数定律和中心极限定理来实现这一证明。

首先，大数定律指出，当n非常大时，二项分布的样本均值将稳定在期望值 [公式]，且当 [公式]，[公式]，[公式] 时，样本方差趋于零。这表明，当n增大，[公式] 的分布趋近于常数 [公式]，即泊松分布的期望值。

其次，中心极限定理指出，当n很大时，二项分布的标准化变量接近标准正态分布。当 [公式]，[公式]，[公式] 时，[公式] 的分布接近标准正态分布，其概率密度函数 [公式] 在n大时简化为泊松分布的概率质量函数 [公式]，其中 [公式] 为泊松参数。

通过斯特林公式将 [公式] 展开，我们可得当 [公式]，[公式]，[公式] 时，[公式] 约等于泊松分布的 [公式]。这证明了当试验次数足够大且成功概率极小时，二项分布近似于泊松分布，即 [公式]，完成了泊松定理的数学证明。