矩阵方程ax=b的解的三种情况为唯一解、无解、有无穷多解。
一、矩阵方程的介绍:矩阵方程是以矩阵为未知量的方程。在矩阵方程AX=B中,A、B为已知矩阵,X为未知矩阵。矩阵方程AX=B的求解问题,是线性代数中的一种典型问题。
二、常用的求解方法主要分为如下的两种类型:
1、A为可逆矩阵:当A为可逆矩阵时,用A的逆矩阵A-1分别左乘矩阵方程AX=B的左右两端,可得其唯一解为X=A-1B。这种类型的矩阵方程,可细分为下列的两种解法。
(1)伴随矩阵法:先分别计算A的行列式|A|和A的伴随矩阵A,再通过公式A-1=A求出A-1,最后将A-1代入X=A-1B中,即可求出矩阵X。
(2)初等行变换法。
2、A为不可逆矩阵或者不是方阵:
(1)实际上,在计算矩阵方程AX=B时,并不知道矩阵A是否是可逆矩阵。在具体操作时,当A为方阵时,可以按照上述的做法,先求出|A|或者对(AB)施以初等行变换。如果|A|=0或者A化成的行最简形矩阵不是单位矩阵E,这时就说明A为不可逆矩阵。
(2)当A为不可逆矩阵或者不是方阵时,就需要将矩阵X中的所有元素都设为未知数,并将原来的矩阵方程转化为关于上述未知数的线性方程组。这时,矩阵方程AX=B就不一定有解。