在数学领域，向量作为一种具有大小和方向的量，常被形象地表示为带箭头的线段。箭头的方向代表向量的方向，线段的长度代表向量的大小。与向量相对的是数量，即标量，它仅有大小而无方向。

向量的数量积，又称为点乘或内积，其结果是一个标量。其性质包括a·a等于向量a大小的平方，a与b垂直时，它们的数量积为零。数量积的绝对值不大于两个向量大小的乘积，即|a·b|≤|a|·|b|。

数量积与实数运算有显著区别。数量积不满足结合律，即(a·b)·c不等于a·(b·c)，也不满足消去律，由a·b=a·c不能直接推断b=c。数量积的绝对值与两个向量大小的乘积并不等价，|a·b|不一定等于|a|·|b|。向量大小相同时也不能直接推断向量相等或相反，但相反则成立。

点乘，或称内积，是两个向量之间的运算，结果为一个标量，表示为向量a与向量b的点乘等于向量a与b大小的乘积乘以它们夹角的余弦值。

叉乘，又称向量积或外积，其结果是一个向量c，大小等于向量a与b大小的乘积乘以它们夹角的正弦值，方向垂直于a与b所在的平面，通过右手法则判断方向。

叉乘不遵循交换律，即a×b等于-b×a。在物理学中，已知力与力臂求力矩，实际上是求向量的外积，即叉乘。

理解向量的数量积与叉乘，对于掌握向量运算至关重要。它们的应用广泛，不仅在数学领域，也在物理学中扮演着重要角色。