矩阵理论在线性代数的应用【1】

　摘 要 线性代数是工科院校必修的一门课程，本文给出了用矩阵理论来求行列式、性方程组、化二次型为标准形等问题的一般方法，对于学习线性代数具有一定的指导性。

　关键词 矩阵 行列式 线性方程组 二次型

　线性代数是研究线性空间和线性变换的一门学科。

　它具有很强的抽象性，而矩阵是由抽象转化为具体的重要桥梁与纽带，并把相关的运算转化为矩阵的简单运算，使线性代数的研究在一定程度上化复杂为简单、变抽象为具体和变散乱为整齐有序。

　1 矩阵为行列式的计算提供了新的技巧和方法

　我们计算行列式常常用定义法、化为三角形法、递推法、数学归纳法、加边法和降阶法但是在学习了矩阵理论知识后，矩阵为行列式的计算提供了新的技巧和方法.

　注：此例的关键是利用分块初等变换把行列式化成容易计算的分块上三角形行列式。

　由以上可以看出矩阵对行列式的计算具有一定的指导作用，应用矩阵可以使行列式的计算变的简单和容易操作。

　2 矩阵是解线性方程组的最佳工具

　故原方程组的一般解为，其中是自由未知量。

　通过引入矩阵秩的概念，解决了线性方程组有解的判定问题;引入矩阵及矩阵的行(列)初等变换概念，使线性方程组与矩阵(增广矩阵)一一对应，将线性方程组的初等变换抽象为矩阵的行初等变换。

　线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.从而用矩阵来研究线性方程组使得问题变得简单明了。

　3 矩阵是化简二次型的“好帮手”

　总之，矩阵理论在线性代数中具有重要的作用，对线性代数的学习有不可忽视的指导作用。

　我们从对矩阵理论的认识和矩阵理论与线性代数的联系来论述了矩阵理论的重要作用。

　不仅加深了对矩阵理论的认识与掌握，而且得到了用矩阵理论来解决相关问题的重要方法和一般步骤。

　矩阵理论不仅在线性代数中有重要的作用，还在图论、统计学和经济等许多科学中有重要作用。

　矩阵理论中的许多思想和方法极大地丰富了数学的代数理论。

　随着人们对科学研究的深入，矩阵理论的应用愈来愈广，作用越来越突出，矩阵理论自身的发展将会更加完善。

　矩阵的其它理论在线性代数中的作用将有待于进一步来研究。

　参考文献

　[1] 胡金得，王飞燕.线性代数辅导(第三版)[M].北京：清华大学出版社，2003.

　[2] 邓勇.矩阵：线性代数的重要工具[J].思茅师范高等专科学校学报，2005(3)：55-56.

　[3] 朱仁先.关于矩阵若干问题的探讨[J].滁州学院学报，2005(3)：111-113.

　[4] 北京大学数学系几何与代数教研室高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.

　[5] 胡金得，王飞燕.线性代数辅导(第三版)[M].北京：清华大学出版社，2003.

　线性代数中矩阵的应用【2】

　摘 要：伴随着社会经济的快速发展，信息技术的进步，数学应用领域也得到了扩展，已从传统物理领域扩展至非物理领域，于当前现代化管理、高科技的发展以及生产力水平的提升中有着非常重要的作用。

　下面笔者就线性代数中矩阵的应用进行研究，借助于关于矩阵应用的典型案例来分析，以加深人们对矩阵应用领域的认识。

　关键词：代数 应用 线性 矩阵

　线性代数作为数学分支之一，是一门重要的学科。

　在线性代数的研究中，对矩阵所实施的研究最多，矩阵为一个数表，该数表能变换，形成为新数表，简而言之就是若抽象出某一种变化规律，可借助于代数理论知识来对所研究的`这一数表实施变换，以此获得所需结论。

　近年来，随着社会经济发展速度的加快，科学技术水平的提高，线形代数中矩阵的应用领域也变得更为广泛，本文就线性代数中矩阵的应用进行详细地阐述。

　1 矩阵在量纲化分析法中的应用

　大部分物理量均有量纲，其主要分为两种，即基本量纲与导出量纲，其中基本量纲有社会长度L、时间T以及质量M，其他量均为导出量。

　基于量纲一致这一原则，等号两端的各变量能构建一个相应的线性方程组，经矩阵变换来解决各量之间所存关系。

　比如勾股定理证明，假设某RT△斜边长是c，两直角边长各为a和b，在此如果选△面积s，斜边c，两锐角a和β为需研究变量，则必定有以下关系，即，该公式中所存量纲有四个，其中有三个为基本量纲，则必然有一个量为无量纲，把上述量纲列成为矩阵，所获矩阵图形如，其中每一列表示一个变量量纲数据。

　基于该矩阵，所获解线性方程为，综合上述方程可得解，即x11为2，x21为0，x31为0，因此，可得关系式，该公式中λ表示唯一需明确的无量纲量，从该公式可知RT△面积和斜边c平方之间成比例。

　在此，于该三角形斜边做一高，把其划分为两个形似三角形，其面积各为s1与s2，此时，原RT△的边长a和b则是两个相似小三角形的斜边。

　通过上述内容可知所获原理和结论相似，则有s1=λa2与s2=λb2，因s1+s2=s，对此，基于此，可证明勾股定理，即为。

　由于量纲分析在运算上所涉及到的内容仅有代数，对此，若进行的试验十分昂贵，一般在实验前，人们倾向于事先在不同的假设下构建若干的相似模型，接着择优选择来进行实验。

　从侧面上来讲，这种方法对于部分常数还起到一定的压缩或者恢复的作用。

　2 矩阵在生产总值和城乡人口流动分析中的应用

　2.1 生产总值

　3 结语

　综上所述，经线性代数中矩阵在不同领域中应用案例的分析可知，矩阵所具潜能非常的大，伴随着信息技术水平的提高，网络技术的进步，矩阵的应用也会更加深入。

　由于各学科间、各行业之间的交叉变得越来越频繁，且界限也变得越来越模糊，在这种形势下，数学这门学科所具基础性也更为明显，对此，在学科研究与行业研究中融入数学，不仅可使研究更加具有说服力，同时还可使研究变得更为简洁，获得更为合理且科学的研究成果。

　参考文献

　[1] 侯祥林，张宁，徐厚生，等.基于动态设计变量优化方法的代数黎卡提方程算法与应用[J].沈阳建筑大学学报：自然科学版，2024，26(3)：609-612.

　[2] 黄玉梅，彭涛.线性代数中矩阵的应用典型案例[J].兰州大学学报：自然科学版，2009，45(Z1)：123-125.

　[3] 殷婷，王杰.多机系统Hamilton实现的Hessian矩阵正定判定与应用[J].电力系统保护与控制，2013(23)：16-22.

　[4] 朱瑞可，李兴源，赵睿，等.矩阵束算法在同步电机参数辨识中的应用[J].电力系统自动化，2024，36(6)：52-55，84.