向量平行和垂直是线性代数中的基本概念，它们涉及到向量之间的关系。当两个向量a和b，其中a=(x, y)和b=(m, n)时，判断它们垂直的充分必要条件是它们的点积（内积）a·b等于0，即xm+yn=0。这个等式表示两个向量在坐标轴上的投影相互抵消，使得它们在直角坐标系中相互垂直。

至于平行，向量a与b平行（记作a//b）意味着它们的叉积（外积）a×b等于0，即xn-ym=0。这个条件表示两个向量在二维空间中没有交点，平行线性质在此得到体现。

向量的概念源于物理学，比如力、速度等物理量，古希腊学者亚里士多德最早认识到力可以表示为向量。后来，向量的概念通过牛顿等科学家的贡献，从有向线段的形式逐渐发展成为数学体系中的重要工具。19世纪末至20世纪初，数学家们开始理解向量在空间中的运算特性，将向量与空间结构紧密联系起来。

复数的几何表示对向量的引入起到了关键作用。18世纪末，挪威的威塞尔通过坐标平面上的点来表示复数a+bi，这种表示方式使得向量的几何意义得以显现。复数运算的几何化处理，使得向量的运算规则得以定义，并逐渐被数学界所接受，从而成为数学研究中不可或缺的一部分。