双曲线和椭圆是两种常见的二次曲线，它们在几何学、物理学和工程学等领域具有广泛的应用。要理解双曲线和椭圆的定义，我们需要从它们的基本概念、性质和方程入手。

首先，我们来了解椭圆。椭圆是平面上所有满足以下条件的点的集合：这些点到两个固定点（称为焦点）的距离之和是一个常数。这两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距。椭圆的形状取决于焦距和这个常数之间的关系。根据这个定义，我们可以得出椭圆的一些基本性质：

椭圆是一个封闭的曲线，它有两个分支，分别位于两个焦点所在的直线（称为主轴）的两侧。

椭圆的所有点到两个焦点的距离之和相等，这个常数大于焦距。

椭圆的两个焦点到椭圆上任一点的距离之差是一个定值，等于焦距。

椭圆的直径（即通过两个焦点的弦）中，最短的一个是垂直于主轴的，称为短轴；最长的一个是平行于主轴的，称为长轴。长轴和短轴的长度分别称为椭圆的长半轴和短半轴。

椭圆的标准方程可以表示为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1，其中a和b分别表示长半轴和短半轴的长度。

接下来，我们来了解双曲线。双曲线是平面上所有满足以下条件的点的集合：这些点到两个固定点（同样称为焦点）的距离之差的绝对值是一个常数。这两个焦点之间的距离也称为双曲线的焦距。双曲线的形状同样取决于焦距和这个常数之间的关系。根据这个定义，我们可以得出双曲线的一些基本性质：

双曲线由两个互不相交的分支组成，分别位于两个焦点所在的直线（称为主轴）的两侧。

双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值相等，这个常数小于焦距。

双曲线的两个焦点到双曲线上任一点的距离之和是一个定值，等于焦距。

双曲线的直径中，最短的一个是垂直于主轴的，称为虚轴；最长的一个是平行于主轴的，称为实轴。实轴和虚轴的长度分别称为双曲线的实半轴和虚半轴。

双曲线的标准方程可以表示为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b分别表示实半轴和虚半轴的长度。

总之，双曲线和椭圆都是二次曲线，它们的区别在于定义条件不同。椭圆上的点到两个焦点的距离之和是一个常数，而双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值是一个常数。这两种曲线在形状、性质和方程上都有明显的差异，但它们在几何学和其他领域都具有重要的应用价值。