在初等数学中,当一级运算(加减)和二级运算(乘除)同时出现在一个式子中时,它们的运算顺序是先乘除,后加减,如果有括号就先括号内后括号外,同一级运算顺序是从左到右．这样的运算叫四则运算，连同三级运算的乘方开方，是初等代数里的基本运算． 四则指加法、减法、乘法、除法的计算法则. 一道四则运算的算式并不需要一定有四种运算符号,一般指由两个或两个以上运算符号及括号,把多数合并成一个数的运算.减法是加法的逆运算,除法是×法的逆运算
1、整数加、减计算法则： 1）要把相同数位对齐，再把相同计数单位上的数相加或相减； 7+2=92）哪一位满十就向前一位进。 9+6=152、小数加、减法的计算法则： 1）计算小数加、减法，先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐）， 5.2+4.7=9.92）再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点。 4.7+9.8=14.5（得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉。） 3、分数加、减计算法则： 1）分母相同时，只把分子相加、减，分母不变； 2）分母不相同时，要先通分成同分母分数再相加、减。 4、整数乘法法则： 1）从右起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对个因数的哪一位对齐； 2）然后把几次乘得的数加起来。 （整数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的数的末尾添写几个0。） 5、小数乘法法则： 1）按整数乘法的法则算出积； 2）再看因数中一共有几位小数，就从得数的右边起数出几位，点上小数点。 3）得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉。 6、分数乘法法则：把各个分数的分子乘起来作为分子，各个分数的分母相乘起来作为分母，（即乘上这个分数的倒数），然后再约分。 7、整数的除法法则 1）从被除数的商位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数； 2）除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商； 3）每次除后余下的数必须比除数小。 8、除数是整数的小数除法法则： 1）按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐； 2）如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面补零，再继续除。 9、除数是小数的小数除法法则： 1）先看除数中有几位小数，就把被除数的小数点向右移动几位，数位不够的用零补足； 2）然后按照除数是整数的小数除法来除 10、分数的除法法则： 1）用被除数的分子与除数的分母相乘作为分子； 2）用被除数的分母与除数的分子相乘作为分母。 数的范围。
1) 求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上的一元运算。
(2) 求一个数的倒数是非零有理数集合Q*,非零实数集合R*上的一元运算。
(3) 求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算。
(4) 在幂集合P(S)上,如果规定全集为S,则求集合的绝对补运算~是P(S)上的一元运算。
(5) 设S为集合,令A为S上所有双射函数的集合,A SS,则求一个双射函数的反函数为A上的一元运算。
(6) 在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上,求一个矩阵的转置矩阵是Mn(R)上的一元运算。
特异元素：单位元、零元和逆元
定义10.5 设为S上的二元运算,
(1) 如果存在el（或er）∈S,使得对任意x∈S都有e1 x=x (或x er=x),则称e1(或er)是S中关于 运算的左(或右)单位元。若e∈S关于 运算既是左单位元又是右单位元,则称e为S上关于 运算的单位元。单位元也叫做幺元。
(2) 如果存在θl（或θr）∈S,使得对任意x∈S都有θl x=θl (或x θr=θr),则称θl(或θr)是S中关于 运算的左(或右)零元。若S关于 运算既是左零元又是右零元,则称θ为S上关于运算 的零元。
(3) 令e为S中关于运算 的单位元.对于x∈S,如果存在yl（或yr）∈S使得yl x=e（或x yr=e）,则称yl(或yr)是x的左逆元(或右逆元)。若y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元,则称y为x的逆元。如果x的逆元存在,就称x是可逆的。
例10.6 针对例10.5的集合和运算,表10.7给出了相关运算的特异元素。
表10.7
关于单位元、零元与逆元有下述的唯一性定理。
定理10.1 设 为S上的二元运算,el和er分别为S中关于运算的左和右单位元,则el=er=e为S上关于 运算的唯一的单位元。
证： el = el er (er为右单位元)
el er = er (el为左单位元)
所以el=er,将这个单位元记作e。假设e’也是S中的单位元,则有e’=e e’=e。唯一性得证。
类似地可以证明关于零元的唯一性定理。
定理10.2 设为S上可结合的二元运算,e为该运算的单位元,对于x∈S如果存在左逆元yl和右逆元yr,则有yl = yr= y，且y是x的唯一的逆元。
证： 由 yl x = e 和 x yr = e 得
yl = yl e = yl (x yr) = (yl x) yr = e yr = yr
令yl = yr = y,则y是x的逆元。假若y’∈S也是x的逆元,则
y'= y' e = y' (x y) = (y' x) y = e y = y
所以y是x唯一的逆元。
由定理10.2可知,对于可结合的二元运算,可逆元素x只有唯一的逆元,通常把它记作x-1。
用反证法可以证明,单位元与零元是不同的,除非集合S只有一个元素。在这种情况下,这个唯一的元素既是单位元也是零元。
二元运算与一元运算的定义
1．二元运算的定义与实例
定义10.1 设S为集合,函数f：S×S→S称为S上的二元运算,简称为二元运算。
例如f：N×N→N,f(
(1)S中任何两个元素都可以进行这种运算,且运算的结果是唯一的。
(2)S中任何两个元素的运算结果都属于S,即S对该运算是封闭的。
例如实数集合R上不可以定义除法运算,因为0∈R,而0不能做除数。但在R*=R－{0}上就可以定义除法运算了,因为 x,y∈R*,都有x/y∈R*。
例10.1
(1) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算,但减法和除法不是。
(2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算,而除法不是。
(3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算,而加法和减法不是,因为两个非零实数相加或相减可能得0.
(4) 设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合,即
图10.1（4）
则矩阵加法和乘法都是 Mn(R)上的二元运算。
(5) S为任意集合,则∪、∩、－、 为S的幂集P(S)上的二元运算,这里∪和∩是初级并和初级交。
(6) S为集合,SS为S上的所有函数的集合,则函数的集合运算 为SS上的二元运算。
2．一元运算的定义与实例
定义10.2 设S为集合,函数f：S→S称为S上的一个一元运算,简称为一元运算。
例10.2
(1) 求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上的一元运算。
(2) 求一个数的倒数是非零有理数集合Q*,非零实数集合R*上的一元运算。
(3) 求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算。
(4) 在幂集合P(S)上,如果规定全集为S,则求集合的绝对补运算~是P(S)上的一元运算。
(5) 设S为集合,令A为S上所有双射函数的集合,A SS,则求一个双射函数的反函数为A上的一元运算。
(6) 在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上,求一个矩阵的转置矩阵是Mn(R)上的一元运算。
二．二元与一元运算的表示
1．算符
可以用 、*、·、 、 等符号表示二元或一元运算,称为算符。对于二元运算 ,如果x与y运算得到z,记做x y=z；对于一元运算 ，x的运算结果记作 x.
2．表示二元或一元运算的方法---解析公式和运算表
表示二元或一元运算的方法有两种：解析公式和运算表。
所谓解析公式就是使用算符和表达式给出参与运算的元素和运算结果之间的映射规则。
例10.3 设R为实数集合,如下定义R上的二元运算*： x,y∈R,x*y=x.计算
3*4,(-5)*0.2,0* .
解：3*4=3,(-5)*0.2=-5,0* =0
对于有穷集S上的二元和一元运算也可以使用运算表表示。表10.1和10.2是一元运算表和二元运算表的一般形式。其中a1,a2,…,an是S中的元素, 为算符。
表10.1 表10.2
例10.4 设S={1,2},给出P(S)上的运算~和 的运算表,其中全集为S.
解：所求的运算表如表10.3和表10.4.
表10.3 表10.4
下面是一个求二元运算的运算表的练习。
设S={1,2,3,4},如下定义S上的二元运算 : x,y∈S,x y=(xy)mod5,其中(xy)mod5表示xy除以5的余数。求 运算的运算表。
三．二元运算的性质
1．主要算律
定义10.3 设为S上的二元运算,
(1)如果对于任意的x,y∈S,有x y=y x,则称运算在S上满足交换律。
(2)如果对于任意的x,y,z∈S有(x y) z=x (y z),则称运算在S上满足结合律。
(3)如果对于任意的x∈S有x x=x,则称运算在S上满足幂等律。
定义10.4 设 和*为S上两个不同的二元运算,
(1)如果对于任意的x,y,z∈S有(x*y) z=(x z)*(y z)和z (x*y)=(z x)*(z y),则称 运算对*运算满足分配律。
(2)如果 和*都可交换,并且对于任意的x,y∈S有x (x*y)=x和x*(x y)=x,则称 和*运算满足吸收律。
例10.5 表10.5和10.6给出了某些常见代数运算的性质,其中Z、Q、R分别代表整数集、有理数集、实数集,Mn(R)表示n(n≥2)阶实矩阵的集合,AA是所有从A到A的函数的集合。