本文简洁、严谨、出神入化地推导了行星运行轨道的相关问题。

行星运行轨道的周期与轨道的半长轴二分之三次方成正比，与轨道的具体类型有关。能量仅与椭圆长轴或双曲线实轴长度相关。

在极坐标下，基矢的方向随极角变化，导数考虑了向量大小与方向的变化。极坐标系下的加速度表达式包括半径的变化贡献、旋转贡献和半径大小变化带来的贡献。

根据角动量守恒定律，行星与恒星连线在相等时间扫过相等面积，这是行星轨道遵循的开普勒第二定律。利用向量外积也可简洁推导。

在圆锥曲线方程中，行星的运行轨道为以离心率为圆锥曲线的圆、椭圆、双曲线或抛物线。通过角动量守恒和万有引力定律，我们可以求得行星运行轨道的方程。

行星的机械能仅与长轴或实轴长度相关，对于椭圆轨道为负，抛物线为零，双曲线为正。行星的动能与势能之和构成了机械能。

对于椭圆轨道，行星运行的周期仅与半长轴相关，与圆形轨道结论一致，但将半径替换为半长轴。双曲轨道和抛物轨道的周期分别为无穷大。

通过这些推导和分析，我们深入理解了行星运行轨道的物理本质。