机械波的波函数的物理意义如下：

力学中的波函数是对系统的数学描述，可以把波函数看成是一个复数形式的概率振幅。根据玻恩的力学描述，波函数的模方代表了一个粒子在空间某处出现的概率。

由于微观粒子具有波粒二象性，粒子的位置和动量不能同时有确定值，因而质点状态的经典描述方式不适用于对微观粒子状态的描述，物质波于宏观尺度下表现为对几率波函数的期望值，不确定性失效可忽略不计。

波函数是量子力学中描写微观系统状态的函数。在经典力学中，用质点的位置和动量（或速度）来描写宏观质点的状态，这是质点状态的经典描述方式，它突出了质点的粒子性。由于微观粒子具有波粒二象性。

粒子的位置和动量不能同时有确定值（见测不准关系），因而质点状态的经典描述方式不适用于对微观粒子状态的描述，物质波于宏观尺度下表现为对几率波函数的期望值，不确定性失效可忽略不计。

历史发展：

在1920年代与1930年代，理论量子物理学者大致分为两个阵营。第一个阵营的成员主要为路易·德布罗意和埃尔温·薛定谔等等，他们使用的数学工具是微积分，他们共同创建了波动力学。第二个阵营的成员主要为维尔纳·海森堡和马克斯·玻恩等等，使用线性代数，他们建立了矩阵力学。后来，薛定谔证明这两种方法完全等价。

德布罗意于1924年提出的德布罗意假说表明，每一种微观粒子都具有波粒二象性。电子也不例外，具有这种性质。电子是一种波动，是电子波。电子的能量与动量分别决定了它的物质波频率与波数。既然粒子具有波粒二象性，应该会有一种能够正确描述这种量子特性的波动方程。