同时 这也是多项式(a+b)^n 打开括号后的各个项的二次项系数的规律 即为
0 (a+b)^0 (0 nCr 0)
1 (a+b)^1 (1 nCr 0) (1 nCr 1)
2 (a+b)^2 (2 nCr 0) (2 nCr 1) (2 nCr 2)
3 (a+b)^3 (3 nCr 0) (3 nCr 1) (3 nCr 2) (3 nCr 3)
. ... ... ... ... ...
因此 杨辉三角第x层第y项直接就是 (y nCr x)
我们也不难得到 第x层的所有项的总和 为 2^(x-1) (即(a+b)^x中a,b都为1的时候)
[ 上述y^x 指 y的 x次方;(a nCr b) 指 组合数]
其实,中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章,而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。
杨辉,字谦光,北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了如上所示的三角形数表,称之为“开方作法本源”图。
而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到,最简单的就是叫你找规律。具体的用法我们会在教学内容中讲授。
在国外,这也叫做"帕斯卡三角形".
S1:这些数排列的形状像等腰三角形,两腰上的数都是1
S2:从右往左斜着看,第一列是1,1,1,1,1,1,1;第二列是,1,2,3,4,5,6;第三列是1,3,6,10,15;第四列是1,4,10,20;第五列是1,5,15;第六列是1,6……。
从左往右斜着看,第一列是1,1,1,1,1,1,1;第二列是1,2,3,4,5,6……和前面的看法一样。我发现这个数列是左右对称的。
S3:上面两个数之和就是下面的一行的数。
S4:这行数是第几行,就是第二个数加一。……
幻方,在我国也称纵横图,它的神奇特点吸引了无数人对它的痴迷。从我国古代的“河出图,洛出书,圣人则之”的传说起,系统研究幻方的第一人,当数我国古代数学家——杨辉。
杨辉,字谦光,钱塘(今杭州)人,我国南宋时期杰出的数学家,与秦九韶、李冶、朱世杰并称宋元四大数学家,他在我国古代数学史和数学教育史上占有十分重要的地位。
杨辉对幻方的研究源于一个小故事。当时杨辉是台州的地方官,一次外出巡游,碰到一孩童挡道,杨辉问明原因方知是一孩童在地I 做一道数学算题,杨辉一听来了兴趣,下轿来到孩童旁问是什么算题。原来,这个孩童在算一位老先生出的一道趣题:把1到9的数字分行排列,不论竖着加、横着加,还是斜着加,结果都等于15。
杨辉看到这个算题, 时想起来他在西汉学者戴德编纂的《大戴礼》一书中也
见过。杨辉想到这儿,和孩童一起算了起来,直到午后,两人终于将算式摆出来了。
后来,杨辉随孩童来到老先生家里,与老先生谈论起数学问题来。老先生说:“北周的甄弯注《数术记遗》一书中写过‘九宫者,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央。”’杨辉听了,这与自己与孩童摆出来的完全一样。便问老先生:“你可知这个九宫图是如何造出来的?”老先生说不知
道。
杨辉回到家中,反复琢磨。一天,他终于发现一条规律,并总结成四句话:“九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出”。就是说:先把l~9九个数依次斜排,再把上l下9两数对调,左7右3两数对调,最后把四面的2、4、6、8向外面挺出,这样三阶幻方就填好了。
杨辉研究出三阶幻方(也叫络书或九宫图)的构造方法后,又系统的研究了四阶幻方至十阶幻方。在这几种幻方中,杨辉只给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明,四阶以上幻方,杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误,可见他已经掌握了高阶幻方的构成规律。
在信息领域杨辉三角也起着重要作用。