整除，同余（剩余系应用），不定方程，奇偶分析，整数能被3、9、11、7等整除的判别法，素数的概念，高斯函数，二进制，最大公因数最小公倍数（辗转相除法），唯一分解定理，欧几里得除法，阶的应用，费马小定理（注意不是那个著名的费马大定理），欧拉函数，中国剩余定理（孙子问题），大衍求一术求同余方程根，格点及其性质，拉格朗日插值定理以及无数的技巧等等。

这些东西都掌握了，高中竞赛拿奖，数论基本就不会拖你后腿了。

小学及初中想玩竞赛，掌握整除，同余，不定方程大概就可以了。