本文聚焦于射影几何，特别是射影映射的概念及其应用。射影映射在实际生活中极为常见，如摄像机或人眼的工作原理，它将三维空间的点映射到呈像平面或视网膜上，保持共线的三点依然共线。本文首先引入扩大的欧几里得平面的概念，为了表示此平面中所有元素，尤其是无穷远点和无穷远直线，引入了齐次坐标。接着，抽象出射影平面，其中“点元素”和“线元素”地位对等，均可由一个有序三元实数组表示。最后，本文阐述了中心投影下交比的不变性。

平行投影与中心投影是两种基本的投影类型。平行投影通过将空间中两个平面之间的点映射到另一个平面，形成一一对应关系，可以视为仿射变换的特例。而中心投影则通过从一个固定点（投影中心）出发，将点光源在地面产生的阴影映射到一个平面上，形成近大远小的视觉效果，即透视投影。在中心投影中，映射关系不是单射也不是漫射，需要通过在原平面和映射平面外添加无穷远点和无穷远直线来使投影成为双射。

为了使中心投影成为双射，扩充了原有的欧几里得平面，形成了扩大的欧式平面（射影平面）。在这个新的空间中，所有直线相交于无穷远点，所有平行线相交于同一个无穷远点。这使得中心投影成为双射，即点到直线的映射和直线到平面的映射均为双射。

射影平面的定义则进一步抽象了“点”与“直线”的对等关系。在射影平面上，所有的直线和点都可以通过一个有序三元实数组来表示，并且“点”与“直线”的关联关系保持不变。齐次坐标系统允许在扩大的欧几里得平面上描述点和直线，揭示了在射影平面上点与直线地位的对等性。

交比是射影几何中的一个重要概念，描述了共线四点之间的特定比例关系。在射影平面上，交比的计算与点的齐次坐标紧密相关，且交比在射影映射下保持不变。这一性质在计算机图形学中有着广泛的应用，特别是在透视纠正插值等场景。

调和点列和调和线束是具有特殊交比的共线点列和共点线束，它们在射影几何中具有独特的性质和应用。通过理解这些概念，可以进一步深入射影几何的理论和实践。