设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V的元素之间定义一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素＠和＃，在V中都有唯一的一个元素＄与他们对应，称为＠与＃的和，记为＄＝＠＋＃．在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P中任一数k与V中任一元素@,在V中都有唯一的一个元素＄与他们对应，称为k与＠的数量乘积，记为＄＝k＠．如果加法与乘法还满足下述规则，那么V称为数域P上的线性空间．

加法满足下面四条规则：

1）＠＋＃＝＃＋＠；

2）（＠＋＃）＋＄＝＠＋（＃＋＄）

3）在V中有一元素O，对于V中任一元素＠都有

＠＋O＝＠

(具有这个性质的元素O称为零元素)

4）对于V中每一个元素＠，都有V中的元素＃，使得

＠＋＃=O

(＃称为＠的负元)

数量乘法满足下面两条规则：

5）1＠＝＠；

6）k(l@)=(kl)@.

数量乘法和加法满足下面两条规则：

7）（k+l）＠＝k＠＋l＠;

8）k（＠＋＃）＝k＠＋k＃．

在以上规则中，k,l等表示数域P中的任意数；＠，＃，＄等表示集合V中任意元素．

设V是实数域R上一线性空间,在V上定义了一个二元实函数,称为内积,记作(@,#),它具有以下性质:

1)(@,#)=(#,@);

2)(k@,#)=k(@,#);

3)(@+#,$)=(@,$)+(#,$);

4)(@,@)>=0,当且仅当@=0时(@,@)=0.

这里@,#,$是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间．

参考资料： 《高等代数》（第三版）