函数极限的概念在数学中具有多样的形式，如x趋于正无穷、负无穷以及特定点Xo。它主要通过ε-δ定义来展现，尤其在验证已知极限值的证明题中起着关键作用。对于x趋向于Xo的极限，定义是：对于任何给定的正数ε，无论它多么微小，总存在一个δ，当x满足0<|x-Xo|<δ时，函数f(x)的值满足|f(x)-A|<ε。这个常数A被称为函数f(x)在x趋近于Xo时的极限。寻找这样的δ，往往需要巧妙运用不等式技巧，如放缩法，如1999年的研究生考试题目所示，这直接考察了考生对极限定义的理解程度（参见附例1）。

了解并灵活运用函数极限的性质是提升分析能力的关键。这些性质包括函数极限的唯一性，即在某点的极限只有一个；局部有界性，意味着函数在某点的极限值不会无限大或小；保序性，即非负函数的极限非负，正函数的极限正；以及极限的运算规则和复合函数的极限法则。这些性质为解决复杂问题提供了有力工具。例如，函数极限的唯一性确保了当极限存在时，其在该点的值具有确定性。