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小记:有限单群分类
时间:2024-12-23 18:31:57
答案

有限群中,单群有这样几类,一个是素数群,一个是奇置换群,一个是有限维特殊线性群的射影群,还有散在群。

素数群是简单的,有限交换单群分类,就只有素数群,它们构成了交换群的基础,任意一个有限交换群总可以分解为几个素数群的直积。

这一结果不难理解,就像素数在整数乘法中起到的基础作用一样,群按照阶来看的话,和整数理论没什么区别,因为阶总是整数,而子群的阶总能整除群的阶,可以视为群的阶的因子,正如素数是整数的所有因子中最特殊的存在,素数阶群自然也是群的所有子群中最特殊的存在了。

这种相似性在群论里面比比皆是,所以,数论和代数的联系是非常紧密的,至少在这样的整数性质下是很相似的。

不过,毕竟还是有区别的,并不是所有的群阶的因子都可以构成子群,这种微妙也导致了许许多多的变化。不过,为什么呢?具体的原因好像很复杂,虽然学过了,但是,还没有一个明确的概念,感觉上是因为群中特殊的元素,单位元,对群进行共轭类分解之后,单位元自成一类,为一阶元素,剩下的二阶元素,高阶元素各种成类,而且可以重复,这就构成了计数公式,G=1+2a+3b+...任意给定一个群的阶,就可以按照公式进行分解,比如6=1+2+3只有一种分解方式,对应的乘法分解为6=2*3,所以对于6阶群而言,使用范畴的语言,在同构的意义下只有一种构型。换一个数8=1+2+2+3=2*4也是只有一种构型,再换一个数12=1+2*4+3=1+2+3*3=1+3*2+5=...这个情况就很多了,所以有着许多种构型。

所以,这个就是原因了,群的阶不仅满足乘法分解,还需要满足加法分解。所以整数理论还是有显著区别的。然后,忽然想到,这种分解的形式好像在量子力学中见过,近独立粒子分布那里,量子统计里面的费米分布,狄拉克分布之类的。由于相同粒子的不可辨分性,所以处于同一状态的相同粒子之间的置换不会导致新的量子态。这与上面的方法其实是一样的,假设系统非简并,那么不同能级就可以视为群元素不同的阶,于是可以构造出一个同构,联系这两个例子,同阶的元素其排列顺序是无所谓的,正如同一能级,其粒子的排列顺序也是无所谓的。

不过,这两种应用也是有不同之处的。

没想到,仅仅一个素数群就占据了这么长的篇幅,后面的也就算了,毕竟我自己搞得也不太清楚。

奇置换群还好,是置换群中的奇置换构成的子群,特殊线性群的射影群,就涉及了商结构,或者说拓扑操作,通过粘合映射实现新空间的构造,就像n维射影空间的构造,就是n维球面将对径点粘合而成的。又比如,单形的粘合可以系统的构造出一些特殊的拓扑空间。

散在群,是出乎意料的产物,也是有限单群分类给出的重要结果,说明即使是看似简单的单群之中都还有一些鲜为人知的特殊存在。这些群阶数很高,想要表示出来都绝不是易事,这也反映一种倾向,虽然人们往往将数学视为逻辑的优美体现,是超越时代的,但是,没有足够的计算能力的支撑,这种游戏能走多远呢?

技巧和力量,哪一个最重要呢?这也是很有意思的问题,即使有精巧的方法,没有足够的算力支撑,也是无法实用的,而一味追求力量,却没有好的方法,也是白费力气。

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