2024年广东省中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（2024•广东）若二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．
x＞1
B．
x≥1
C．
x＜1
D．
x≤1
2．（3分）（2024•广东）
下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A B C D
3．（3分）（2024•广东）数学老师布置10道填空题，测验后得到如下统计表：
答对题数
7
8
9
10
人 数
4
20
18
8
根据表中数据可知，全班同学答对的题数所组成的样本的中位数和众数分别是（ ）
A．8、8 B． 8、9 C．9、9 D．9、8
4．（3分）（2024•广东）下列函数：① ；② ；③ ；④ ．当 时，y随x的增大而减小的函数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5．（3分）（2024•广东）圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则它的侧面展开图的圆心角是（ ）
A. 320° B. 40° C. 160° D. 80°
6．（3分）（2024•广东）下列四个几何体中，俯视图为四边形的是（ ）
A B C D
7．（3分）（2024•广东）据报道，2013年第一季度，广东省实现地区生产总值约1260 000 000 000元，用科学记数法表示为（ ）
A. 0.126×1012元 B. 1.26×1012元 C. 1.26×1011元 D.12.6×1011元
8．（3分）（2024•广东）已知实数a、b，若a＞b，则下列结论正确的是（ ）
A. a﹣5＜b﹣5 B. 2+a＜2+b C. D. 3a＞3b
9．（3分）（2024•广东）如图，AC∥DF，AB∥EF，点D、E分别在AB、AC上，若∠2=50°，则∠1的大小是（ ）
A.30° B.40° C .50° D.60°
10．（3分）（2024•广东）已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x﹣1和y= 的图象大致是（ ）
A B C D
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应位置上.
11．（4分）（2024•广东）．计算： ．
12．（4分）（2024•广东）如图1，在 中， ，则 _______度．
O
C
A
B
图1
图2
O
13．（4分）（2024•广东）如图2 所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过____________次旋转而得到， 每一次旋转_______度．
14．（4分）（2024•广东）小张和小李去练习射击，第一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图3所示．根据图中的信息，小张和小李两人中成绩较稳定的是 ．
图3
A
E
D
C
F
B
D1
C1
图4
15．（4分）（2024•广东）如图4，把一个长方形纸片沿 折叠后，点 分别落在 的位置．若 ，则 等于_______度．
16．（4分）（2024•广东）如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n幅图中共有 个．
…
…
第1幅
第2幅
第3幅
第n幅
图5
C
B
D
A
图6
Q
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题5分，共15分）
17．（5分）（2024•广东）如图 6，已知线段 ，分别以 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点C、Q，连结CQ与AB相交于点D，连结AC，BC．那么：
（1）∠ ________度；
（2）当线段 时， ______度，
的面积等于_________（面积单位）．
18．（5分）（2024•广东）：
19．（5分）（2024•广东）先化简，再求值： ，其中 ．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
20．（8分）（2024•广东）如图 8，梯形ABCD中， ，点 在 上，连 与 的延长线交于点G．
（1）求证： ；
（2）当点F是BC的中点时，过F作 交 于点 ，若 ，求 的长．
D
C
F
E
A
B
G
图8
21．（8分）（2024•广东）“五·一”假期，某公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图9．根据统计图回答下列问题：
（1）前往 A地的车票有_____张，前往C地的车票占全部车票的________%；
（2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给 100 名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去 B 地车票的概率为______；
（3）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？
22．（8分）（2024•广东）如图10，已知抛物线 与 轴的两个交点为 ，与y轴交于点 ．
（1）求 三点的坐标；
（2）求证： 是直角三角形；
（3）若坐标平面内的点 ，使得以点 和三点 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的坐标．（直接写出点的坐标，不必写求解过程）
O
A
B
x
y
C
图10
四、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．（9分）（2024•广东）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
24．已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）当BD=6，sinC= 时，求⊙O的半径．
25．（9分）（2024•广东）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．
①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；
②若⊙M的半径为 ，求点M的坐标．
部分答案：
解：（1）30；20． ··············································································· 2 分
（2） ． ··························································································· 4 分
（3）可能出现的所有结果列表如下：
小李抛到
的数字
小张抛到
的数字
1
2
3
4
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
或画树状图如下：
1 2 3 4
1
1 2 3 4
2
1 2 3 4
3
1 2 3 4
4
开始
小张
小李
共有 16 种可能的结果，且每种的可能性相同，其中小张获得车票的结果有6种：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），
∴小张获得车票的概率为 ；则小李获得车票的概率为 ．
∴这个规则对小张、小李双方不公平． 8 分
22. （1）解：令 ，得 ，得点 ． ···································· 1分
令 ，得 ，解得 ，
∴ ． ········································································ 3分
O
A
B
x
y
C
21题图
N
M2
M1
M3
（2）法一：证明：因为 ，
，·················· 4分
∴ ，··································· 5分
∴ 是直角三角形．································ 6分
法二：因为 ，
∴ ，················································································· 4分
∴ ，又 ，
∴ ．······································································ 5分
∴ ，
∴ ，
∴ ， 即 是直角三角形． ······································· 6 分
（3） ， ， ．（只写出一个给1分，写出2个，得1.5分） 8分
23.（1）设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到3.2列出一元二次方程求解即可；
（2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．
解 （1）设平均每次下调的百分率为x．
由题意，得5（1﹣x）2=3.2．
解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8．
因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，
符合题目要求的是x1=0.2=20%．
答：平均每次下调的百分率是20%．（2）小华选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元），
方案二所需费用为：3.2×5000﹣200×5=15000（元）．
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠．
24.（1）连接OE，根据等腰三角形性质求出BD⊥AC，推出∠ABE=∠DBE和∠OBE=∠OEB，得出∠OEB=∠DBE，推出OE∥BD，得出OE⊥AC，根据切线的判定定理推出即可；
（2）根据sinC= 求出AB=BC=10，设⊙O 的半径为r，则AO=10﹣r，得出sinA=sinC= ，根据OE⊥AC，得出sinA= = = ，即可求出半径．
（1）证明：连接OE，
∵AB=BC且D是AC中点，
∴BD⊥AC，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠DBE，
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠DBE，
∴OE∥BD，
∵BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∵OE为⊙O半径，
∴AC与⊙O相切．
（2）解：∵BD=6，sinC= ，BD⊥AC，
∴BC=10，
∴AB=BC=10，
设⊙O 的半径为r，则AO=10﹣r，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A，
∴sinA=sinC= ，
∵AC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴sinA= = = ，
∴r= ，
答：⊙O的半径是 …
本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形，切线的性质和判定的应用，解（1）小题的关键是求出OE∥BD，解（2）小题的关键是得出关于r的方程，题型较好，难度适中，用了方程思想．
25.分析：
（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，设出二次函数交点式解析式y=a（x+1）（x﹣2），然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式；
（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；
（3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是﹣2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标；
②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标
解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），
将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），
即y=x2﹣x﹣2；（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，
解得，x= ，
即OP= ；（3）①∵△CHM∽△AOC，
∴∠MCH=∠CAO，
（i）如图1，当H在点C下方时，
∵∠MCH=∠CAO，
∴CM∥x轴，
∴yM=﹣2，
∴x2﹣x﹣2=﹣2，
解得x1=0（舍去），x2=1，
∴M（1，﹣2），
（ii）如图1，当H在点C上方时，
∵∠MCH=∠CAO，
∴PA=PC，由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点，
设直线CM的解析式为y=kx﹣2，
把P（ ，0）的坐标代入，得 k﹣2=0，
解得k= ，
∴y= x﹣2，
由 x﹣2=x2﹣x﹣2，
解得x1=0（舍去），x2= ，
此时y= × ﹣2= ，
∴M′（ ， ），②在x轴上取一点D，如图（备用图），过点D作DE⊥AC于点E，使DE= ，
在Rt△AOC中，AC= = = ，
∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，
∴△AED∽△AOC，
∴ = ，
即 = ，
解得AD=2，
∴D（1，0）或D（﹣3，0）．
过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图（备用图）
则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6，
当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，
当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时，即x2+x﹣4=0，解得x1= ，x2= ，
∴点M的坐标为（ ，3+ ）或（ ，3﹣ ）．
本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形的性质，两函数图象交点的求解方法，综合性较强，难度较大，要注意分情况讨论求解．