等差数列求和公式属于等差数列中的一种,用于计算等差数列从首项至末项的和。
基本公式:
数列和公式:sn= (a1 an)×n÷2;数列和=(首项+末项)×项数÷2;
通项公式:an = a1 (n-1)d;通项=首项+(项数一1) ×公差;
项数公式:n= (an a1)÷d+1;项数=(末项-首项)÷公差+1;公差公式:d =(an-a1))÷(n-1);公差=(末项-首项)÷(项数-1);
基本概念:
首项:等差数列的第一个数,一般用a1表示;项数:等差数列的所有数的个数,一般用n表示;公差:数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示; 通项:表示数列中每一个数的公式,一般用an表示;数列的和:这一数列全部数字的和,一般用Sn表示.
基本思路:等差数列中涉及五个量:a1,an,d,n, sn,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。
等差数列基本性质
(1)数列为等差数列的重要条件是:数列的前n项和S 可以写成S =+的形式(其中a、b为常数)。
(2)在等差数列中,当项数为时,;当项数为时,。
(3)若数列为等差数列,则…仍然成等差数列,公差为。
(4)若数列均为等差数列,且前n项和分别是,则=。
(5)在等差数列中,S = a,S = b (n>m),则S = (a-b)。
(6)记等差数列的前n项和为S。①若a >0,公差d<0,则当a ≥0且+1≤0时,S 最大;②若a <0 ,公差d>0,则当a ≤0且+1≥0时,S 最小。
(7)若等差数列Sp=q,Sq=p,则Sp+q=0。
等差中项
等差中项即等差数列头尾两项的和的一半,但求等差中项不一定要知道头尾两项。等差数列中,等差中项一般设为。当成等差数列时,,所以为的等差中项,且为数列的平均数。并且可以推知n+m=2×r,且任意两项的关系为:,(类似),相当容易证明,它可以看作等差数列广义的通项公式。
等差数列的应用日常生活中,人们常常用到等差数列如:在给各种产品的尺寸划分级别时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,常按等差数列进行分级。若为等差数列,且有。则。
其实,中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了:今有女子不善织布,逐日所织的布以同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日,问共织几何?书中的解法是:并初、末日织布数,半之,余以乘织讫日数,即得。这相当于给出了的求和公式。
等差数列求和的例题:
已知一个等差数列的首项为 a1 = 2,公差为 d = 3,求该等差数列的前 5 项和 Sn。
解题步骤如下:
1. 确定已知条件:
首项 a1 = 2
公差 d = 3
要求的项数 n = 5
2. 使用等差数列求和公式:
等差数列的求和公式为 Sn = (n/2) * (2a1 + (n-1)d)
3. 计算前 5 项和 Sn:
将已知条件代入等差数列求和公式,得到 Sn = (5/2) * (2*2 + (5-1)*3)
进行简化计算,得到 Sn = (5/2) * (4 + 12)
继续计算,得到 Sn = (5/2) * 16
最后计算,得到 Sn = 40
因此,该等差数列的前 5 项和 Sn = 40。