伽马函数（Gamma函数）定义

实数域定义：[公式]

阶乘的插值问题

我们知道阶乘[公式]

这几个点画在图上就是

如果把这些点连成线， 点和点中间的值就是非整数的阶乘的值。那么这些值等于多少呢？

比如在[公式] 和 [公式] 中间插入 [公式] ，那么 [公式] 等于多少呢？

伽马函数的历史

哥德巴赫一生都对阶乘的差值问题保持很高的兴趣。阶乘也就是我们非常熟悉的[公式] ,具体一点举例就是 [公式] [公式] 。哥德巴赫提出一个问题，为什么阶乘都是整数的，那可以是小数的么？ 比如 [公式] 。甚至是不是可以用复数来做阶乘，比如 [公式] ?

对，没错，这里的哥德巴赫就是那个提出著名的“哥德巴赫猜想”的哥德巴赫！

哥德巴赫没能解决这个问题。1722年，哥德巴赫找到尼古拉斯[公式]伯努利，请教他这个问题，不过没有获得进展。

1729年他又请教丹尼尔 [公式] 伯努利（尼古拉斯[公式]伯努利的弟弟），而当时只有22岁的欧拉知道了这个问题，用极具想象力的方式解决了阶乘的差值问题。

1730 年 欧拉把他推广得到的[公式] 的积分形式再次写信告知了哥德巴赫，由此完美地解决了困恼哥德巴赫多年的插值问题，同时正式宣告了伽马函数在数学史的诞生，当时欧拉只有 23 岁。

欧拉计算阶乘差值问题的方法

[公式]

这相当于把[公式] 做离散展开为 [公式]

[公式]

这相当于把[公式] 做连续展开为 [公式]

[公式]

对比两个等式的[公式] 的系数，就可以得到： [公式]

也就是得到[公式]

最后的积分中我们可以让[公式] 取任意实数，这样我们就把阶乘延拓到实数领域了。

伽马函数的性质

伽马函数的应用

Gamma函数在概率论中大量应用：

指数分布族，都是基于Gamma函数：

5.1. Gamma分布：

[公式]

密度函数为：[公式]

伽玛分布的含义: 要等到[公式] 个随机事件都发生，需要经历多久时间？

5.2 指数分布

[公式]

密度函数为：

[公式]

则称[公式] 服从参数为 [公式] 的指数分布

当[公式] 时，伽马分布就是指数分布， [公式]

所以伽马分布就是[公式] 个指数分布的和。

5.3 卡方分布：

[公式] 的概率密度函数等于 [公式] , 根据伽马分布的可加性， [公式] 个 [公式] 就是 [公式]

其他两个重要概率分布： t分布和F分布的概率密度函数也是基于Gamma函数的