在三维几何中，我们常需描述一个点的位置。椭球坐标系是一种非正交坐标系统，以其独特的形式与性质，在科学计算与理论建模中展现出独特价值。本文将探讨椭球坐标系的基础知识，从坐标系的引入、正交性的论证，直至Nabla运算的计算，逐步深入。

首先，考虑一个半轴分别为a, b, c的椭球面，方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1。通过引入参数t，构造方程x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = t，其中t为未知数。分析这个方程，我们发现它是一个三次方程，具有三个根，分别对应椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面。

将参数t视为椭球坐标，我们观察到在空间中，椭球坐标的变化可以描绘出不同类型的曲面。正交坐标系的定义为坐标轴彼此正交，且其等值曲面在任意点相互正交。而椭球坐标系的正交性可以通过分析其法向量来证明。通过计算得到的法向量内积为零，说明它们相互垂直，因此椭球坐标系确实是一种正交坐标系。

在讨论正交坐标系的Nabla运算时，引入了拉梅系数和梯度、散度、旋度、拉普拉斯算子的正交坐标系表达式。通过推导和计算，我们得到了Nabla运算在椭球坐标系下的具体形式，这为后续的物理分析与计算提供了基础。

最后，文章探讨了坐标系的退化情况。当椭球坐标中的参数a、b、c有相等值时，将导致坐标系的特定变化，对应一种特殊的椭球坐标形式。对此现象的深入分析将在后续文章中进行。