例1.十字相乘法的图解及待定系数
已知二次三项式2x2-mx-20有一个因式为(x+4),求m的值.
分析:用十字相乘法分解这个二次三项式有如下的图解:
8-5=3=-m
解:2x2-mx-20=(x+4)(2x-5)=2x2+3x-20
∴-m=3
m=-3
(由例1我们应该明白,“十字相乘”法,并非凭空而来,也没有什么新东西—— 像不像?只要懂(ax+b)(cx+d),就懂“十字相乘”,这样,十字相乘中各数的意义,你记得更清楚了吧?) 例2.因式分解与系数的关系
若多项式a2+ka+16能分解成两个系数是整数的一次因式的积,则整数k可取的值有( )
A.5个 B.6个 C.8个 D.4个
分析:因为二次项系数为1,所以原式可分解为(a+m)(a+n)的形式,其中mn=16,k=m+n,所以整数k可取值的个数取决于式子mn=16的情况.(其中m、n为整数)
因为16=2×8,16=(-2)×(-8)
16=4×4,16=(-4)×(-4)
16=1×16,16=(-1)×(-16)
所以k=±10,±8,±16
答案:B
(是不是有一点即通的感觉?这一层窗户纸不厚,数学要的就是心细,胆大) 例3.分组分解后再用十字相乘
把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式
解:原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15
=2(x-2y)2-11(x-2y)+15
=[(x-2y)-3][2(x-2y)-5]
=(x-2y-3)(2x-4y-5)
说明:分组后运用十字相乘进行因式分解,分组的原则一般是二次项一组,一次项一组,常数项一组.本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式,利用十字相乘法完成因式分解. 例4.换元法与十字相乘法
把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式
分析:观察式子特点,二次项系数和一次项系数分别相同,把(x2+x)看成一个“字母”,把这个式子展开,就可以得到关于(x2+x)的一个二次三项式(或设x2+x=u,将原式化为(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4,则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解.
解:(x2+x+1)(x2+x+2)-6
=[(x2+x)+1][(x2+x)+2]-6
=(x2+x)2+3(x2+x)-4
=(x2+x+4)(x2+x-1)
说明:本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了,若能分解一定要继续分解,如摸底检测第3题答案应当是C.
(上一次,我们说到的整体分析又用到了,还记得我们在哪提到它的?对,在分组分解法中,试比一下“分组分解”与“十字相乘”适用的题目的类型特点,从各项的次幂的次数及各项系数去分析) 例5.因式分解与十字相乘法
已知(x2+y2)(x2-1+y2)=12
求:x2+y2的值
解:(x2+y2)(x2-1+y2)=12
(x2+y2)[(x2+y2)-1]-12=0
(x2+y2)2-(x2+y2)-12=0
[(x2+y2)-4][(x2+y2)+3]=0
∵x2+y2≥0
∴(x2+y2)+3≠0
∴(x2+y2)-4=0
∴x2+y2=4
说明:我们把(x2+y2)看成一个“字母”,则原式转化为关于这个“字母”的一个一元二次方程。虽然目前还没学二次方程的解法,但通过这个题,我们可以发现,对二次三项式因式分解是解一元二次方程的方法之一.
(说“十字相乘”是冷饭,一点也不为过,炒完冷饭,尝尝味道怎样吧).返回主题[强化练习]1.把下列各式分解因式
(1)x-x2+42
(2)
(3)a2n+a4n-2a6n
(4)(x-y)2+3(x2-y2)-4(x+y)2
(5)x2-xy-2y2-x-y
2.已知:x2+xy-2y2=7,求:整数x、y的值答案与提示:
1.(1)-(x-7)(x+6)
(2)
(3)-a2n(an+1)(an-1)(2a2n+1)
(4)-2y(5x+3y)
提示:可分别把(x-y)和(x+y)各看成一个“字母”,如设x-y=m,x+y=n,则原式化为m2+3mn-4n2
(5)(x+y)(x-2y-1)
提示:可参考“疑难精讲例3”2.
提示:将已知条件的左边分解因式得:
(x+2y)(x-y)=7
∵x、y都为整数
∴有