正整数1至n的全排列总数为n！种。考虑第k位恰好为k的情况，即排列中第k位为k且其余n-1位可以任意排列，因此这类排列共有（n-1）！种。当k取1至n时，这些排列总计有n*（n-1）！种，但它们是错误排列，需要排除。

在排除这些错误排列的同时，我们又将同时有两个数正确排列的排列错误地排除了一次，因此需要进行补正；补正时又将同时有三个数正确排列的排列多补了一次，这需要再次排除；如此继续，直到得到正确的错排排列总数。

正确的错排排列总数可以表示为M(n)=n!-n!/1!+n!/2!-n!/3!+…+(-1）^n*n!/n!，即M(n)=n![1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!+..+(-1）^n/n!]。这里的连加符号sigma表示从k=2到n的连续相加过程。

扩展资料

pala提出的问题： 十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？ 这个问题推广一下，就是错排问题： n个有序的元素应有n！种不同的排列。如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上，则称这个排列为错排。