形如y=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0，b，c，d，e为常数)的函数叫做四次函数。四次函数的图像成一般W形。

一元四次方程实际上是四次函数中y=0的情况。一元四次方程可以用费拉里法求解。一般的一元四次方程还可以用待定系数法求解

1、确定函数的定义域

这个函数在R上可导，这里不仅确定了它的定义域，同时还确定了函数没有间断点，也没有不可导点。

2、考察函数的奇偶性、周期性

这是一个奇函数。因为f(-x)=3(-x)^5-5(-x)^3=-3x^5 5x^3=-(3x^5-5x^3)=-f(x). 奇函数决定了，我们只需要作出一半区间，再利用奇函数的图像关于原点对称，就可以作出另一半区间。另外，函数不存在周期性。

3、求函数的某些特殊点，如与两个坐标轴的交点，不连续点，不可导点等

对函数的解析式因式分解，得到f(x)=x^3(3x^2-5)，就可以知道，当f(x)=0时，x=0或x=±根号15 /3. 即曲线与x轴有三个交点，包括原点和(0，±根号15 /3). 事实上，连续的奇函数就一定过原点。

4、确定函数的单调区间，极值点，凸性区间以及拐点

当f'(x)=15x^4-15x^2=15x^2(x^2-1)=0时，求得函数有三个稳定点：x=0或x=±1.

函数的单调区间分别为：单调增区间(-∞，-1)U(1，∞)，单调减区间(-1，1). 这是由导数的符号性质决定的。

由极值的第一充分条件，可以知道，函数有极大值点(-1，2)和极小值点(1，-2).

又f"(x)=30x(2x^2-1)，可以得到曲线的上凸区间(-∞，-根号2/2)U(0，根号2/2)，以及下凸区间(-根号2/2，0)U(根号2/2， ∞)，这是二阶导数的符号性质决定的。

由于函数在R上连续，所以有拐点(-根号2/2， 7根号2 /8)， (0，0)， (根号2 /2， -7根号2/8).

5、考察渐近线

函数没有渐近线，因为设函数有渐近线y=ax b，求得a，b都是无穷大。

6、画出函数图象。

现在归纳函数图像的性态如表：