截长补短法是几何证明题中的重要技巧，主要用于证明线段之间的数量关系。截长法是指在长边上截取一段与短边相等的线段，然后证明剩余线段与另一短边相等。例如，在正方形ABCD中，若DE=DF，DG与CE交于G，GH与AF交于P并延长线于H，则可以利用截长法来证明DG、GH、CH的数量关系。

补短法则是延长短边，通过旋转等方式使两短边拼合到一起。比如在正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45°，可以通过补短法证明EF、DE、BF的数量关系。

针对正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45°的情况，证明EF=DE+BF。延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADG=ABF=90°，AD=AB，又DG=BF，所以ADG ABF（SAS）。GAD=FAB，AG=AF。因此，EAG EAF（SAS），EF=GE=GD+DE=BF+DE。

若将点E、F分别移到BC、CD的延长线上，∠EAF=45°，则EF=BF-DE。在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。由四边形ABCD是正方形得ADE=ABG=90°，AD=AB，DE=BG，所以ADE ABG（SAS）。EAD=GBA，AE=AG。因此，EAF GAF（SAS），EF=GF=BF-BG=BF-DE。

在正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上，∠EDF=45°，DB=DC，∠BDC=120°。延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG。由ABC是正三角形得ABC=ACB=60°，又DB=DC，∠BDC=120°，所以∠DBE=∠DCB=30°，∠EDB=∠ABC+∠DBC=60°+30°=90°，∠ACD=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°。因此，∠GCD=180°-∠ACD=90°，∠DBE=∠DCG=90°。又DB=DC，BE=CG，所以DBE DCG（SAS），EDB=GDC，DE=DG。因此，∠EDG=∠EDB+∠GDC=90°+60°=150°，∠EDF=120°-60°=60°。又DG=DE，DF=DF，所以GDF EDF（SAS），EF=GF=CG+FC=BE+FC。

在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分∠DAC。若CM=AN，点E在BD上，NE平分∠DNM，则MN、AD、EF的数量关系可以通过作辅助线，构造相似三角形来证明。过E作EG AD于G，作EQ AB于Q，过B做BP MN于P。按照上述方法可求证，GNE FNE（AAS），DGE为等腰直角三角形，AG=AD-DG=AD-EF。又四边形ABCD为正方形，∠ABC=∠GAQ=∠BCM=90°，BD平分∠ABC，BC=BA。因此，∠ABD=∠ABC/2=45°，又∠EQB=90°，EQB为等腰直角三角形，BEQ=45°。又∠GAQ=∠EGA=∠EQA=90°，因此四边形AGEQ为矩形，EQ=AG=AD-EF，EQ//AG。QEN=ENG，ENG=ENF，所以QEN=ENF。又BC=BA，∠BCM=∠BAN=90°，CM=AN，所以BCM BAN（SAS），BM=BN，∠CBM=∠ABN。因此，∠ABC=90°=∠ABM+∠CBM=∠ABM+∠ABN=∠MBN，又BM=BN，因此MBN为等腰直角三角形。又BP斜边MN于P，所以NBP为等腰直角三角形。BP=MN/2，PNB=45°。BNE=ENF+PNB，BEN=QEN+QEB。又QEN=ENF，PNB=QEB=45°，因此BNE=BEN。BN=BE，又PNB=QEB=45°=NBP=EBQ，因此BEQ BNP（SAS），EQ=BP。因为EQ=AG=AD-EF，BP=MN/2，所以AD-EF=MN/2。