若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且 　　b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a) 　　这即为牛顿—莱布尼茨公式。 　　牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程：

编辑本段对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：

　b∫a*f(x)dx 　　现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数： 　　Φ(x)= x∫a*f(x)dx 　　但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了： 　　Φ(x)= x∫a*f(t)dt