定义 3.1 描述了测度的基本概念。对于集合 A 和其子集构成的 σ-代数 S，测度 μ 是一个函数，满足两个关键性质：首先，μ(A) 的值非负。其次，若序列 An 的各元素两两不相交，则有 μ(∪An) = ∑μ(An)。这种性质被称为可列可加性。若序列只包含有限个元素，则称为有限可加性。

这里提供一个有趣的例子，展示有限可加性与可列可加性的区别。考虑非主超滤子 F 在集合 Ω 上，定义测度 μ(F)，此测度在有限情况下可加，但若考虑序列 F, F，则 μ(F ∪ F) ≠ μ(F) + μ(F)，说明测度不是可列可加的。

测度空间是指集合 Ω、σ-代数 S 和测度 μ 的三元组。接下来，我们通过几个例子来说明测度的定义和应用。

计数测度 μ 定义为集合 Ω 中元素的数量，对于任何集合 A，μ(A) 等于 A 中元素的个数。

点质量测度 δa 在点 a 上赋予单位值，在其他所有点上为零，具有非平移不变性。

通过一系列定理和证明，我们可以深入理解测度的性质和应用。例如，若测度 μ 对于任意集合 A、B 满足 A ⊆ B 时 μ(A) ≤ μ(B)，则称 μ 为有限测度。若存在集合 F 使得 A ⊆ F 且 μ(F) < ∞，则称 μ 为 σ-有限。测度空间的完备性是研究中的一个重要概念，一个完备测度空间满足所有零测集的闭包仍是零测集。

概率测度是一种特殊的测度，定义为集合 Ω 上的函数，满足所有事件的测度等于 1。在概率论中，概率空间通常指的是概率测度与 σ-代数的组合。

最后，我们讨论了概率测度的一些基本性质和应用，以及如何通过构造测度函数来定义概率。通过这些例子和定理，我们可以更好地理解和应用测度的概念。