极坐标下的二重积分公式推理过程如下：

一、过程

1、假设平面上的区域由两个函数f（x，y）和g（x，y）所确定，其中f（x，y）表示该区域内的密度分布函数，g（x，y）表示该区域内的高度分布函数。

2、则该区域的面积或体积可以通过以下公式计算：∫Df（x，y）g（x，y）dxdy=∫（0，2π）dθ∫（0，R）r^2*f（rcosθ，rsinθ）g（rcosθ，rsinθ）drdθ。

二、总结

首先对极径r进行积分，得到整个圆环内的总质量；然后对极角θ进行积分，得到整个圆环内的质量分布情况。最后将两者相乘，就得到了该区域内的面积或体积。由于极坐标系的特殊性质，该公式中的dxdy需要被替换为rdrdθ。

极坐标的相关知识

1、极坐标系是数学中的一种坐标系：使用角度和长度来描述平面上的位置，我们选择一个固定的点作为极点，从这个极点出发引一条射线作为极轴。选择一个长度单位，并规定角度的正方向，对于平面内的任何一点M，我们用ρ（或r）表示线段OM的长度，而θ表示从极轴到OM的角度。

2、与笛卡尔坐标系不同：极坐标系不需要使用两个独立的变量来描述一个点的位置，而是将这两个变量合并成一个单一的参数——极径ρ。这使得极坐标系在某些情况下更加方便和直观。例如，在计算圆的面积和周长时，使用极坐标系可以大大简化计算过程。

3、极坐标系还具有一些特殊的性质和应用：在物理学、工程学和天文学等领域中，极坐标系经常被用来描述旋转运动、磁场和星系等现象。同时，极坐标系也被广泛应用于计算机图形学、机器人控制和航空航天等领域中。