概念:一般地,具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系。它的方程称直线系方程,直线系方程中除含变量x 、y以外,还有可以根据具体条件取不同值的变量,称为参变量,简称参数。几种常见的直线系方程:
(1)过已知点P(x0,y0)的直线系方程:y-y0=k(x-x0)(k为参数)或x=x0(k不存在时)
(2)斜率为k的直线系方程y=kx+b(b是参数)
(3)与已知直线Ax+By+C=0平行的直线系方程Ax+By+λ=0(λ为参数)
(4)与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程Bx-Ay+λ=0(λ为参数)
(5)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程:
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为参数)不含l2
具有某一共同性质的直线的集合叫做直线系,它的方程叫做直线系方程。
确定平面上一条直线,需要两个独立且相容的几何条件,如果只给定一个条件,直线的位置不能完全确定。另一方面,如果只给定一个几何条件时,二元一次方程的两个独立的系数中,只有一个被确定,那个未被确定的系数是参数。
利用直线系方程求直线,可以简化计算过程,欲求适合某两个几何条件的直线的方程,可先用其中一个条件写出直线系方程,再用另一个条件来确定参数值。
常见的直线系的名称、条件、图形、方程如下表:
常见的直线系方程和它的图形表
用直线系方程求适合某一条件的直线时,应注意不能被该方程表示的直线(例如,过定点(x1,y1)的直线系方程,不能表示直线x-x1=0),若它符合已知条件,应收入。
过两直线交点的直线系方程有两种形式。其中(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0 较简单些,但它不能包含直线A2x+B2y+C2=0本身。而方程m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0,(m,n不同时为零的实数),可以避免这个缺陷。
例1:求与直线3x+4y-7=0垂直,且在x轴上的截距为(-2)的直线。
解法一:利用“垂直”写出直线系方程,再用“在x轴上截距为-2”这个条件确定参数。
和直线3x+4y-7=0垂直的直线系方
程是4x-3y+m=0(其中m是参数)。
直线方程是4x-3y+8=0.
解法二:利用“在x轴上截距为-2”这个条件写出直线系,再用“垂直”这个条件确定参数。
∵此直线过点(-2,0)用点斜式写出直线系y-0=k(x+2),即y=k(x+2),(斜率k是参数)。
k1k=-1
例2:求和直线3x+4y+2=0平行,且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程。
解法一:先用“平行”这个条件写出直线系方程,再用“面积”这个条件确定参数。
与直线3x+4y+2=0平行的直线系方程是
所求直线l的方程为3x+4y±24=0.
解法二:先用“面积”这个条件写出直线系方程,再用“平行”这个条件确定参数。
设所求直线在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则有
画草图可知a、b同号,
∴|ab|=ab.
48x+a2y-48a=0②.因为②式的直线与3x+4y+2=0平行,
所求直线为48x+64y-48(±8)=0.
即3x+4y±24=0.
例3:已知两直线
l1∶x+2=0,
l2∶4x+3y+5=0.及定点A(-1,-2).
求:直线l,它过l1、l2的交点且与点A的距离等于1。
解法一:先利用“过l1、12的交点”写出直线系方程,再根据“l与A点距离等于1”来确定参数。
过l1、l2交点的直线系方程是
(x+2)+λ(4x+3y+5)=0,λ是参数。化为
(1+4λ)x+3λy+(2+5λ)=0①.
得λ=0。
代入方程①,得x+2=0。因为直线系方程①中不包含l2,所以应检查l2是否也符合所求l的条件。
∴l2也符合要求。
答:所求直线l的方程是
x+2=0和4x+3y+5=0.
解法二:l1、l2的交点为(-2,1),过这点的直线系方程为
y-1=k(x+2)②,斜率k是参数。
即kx-y+(2k+1)=0③,再根据方程③的直线与点A(-1,-2)的距离为1,来确定参数k。
得所求直线l的方程为4x+3y+5=0。
因为直线系方程②不包括与y轴平行的直线,所以应检查过点(-2,1)且与y轴平行的直线
x=-2是否符合所求直线l的条件。
∵点A(-1,-2)到直线x=-2的距离为1,所以直线x=-2即x+2=0也符合l的要求,应该补上,
答:所求直线l的方程是
x+2=0和4x+3y+5=0.
例4:在△ABC中,
AB边所在直线方程为4x+y-12=0。
高BH所在直线方程为5x-4y-15=0。
高AH所在直线方程为2x+2y-9=0。
求:第三条高CH所在直线方程与AC边所在直线方程。
解:(1)H为垂心,CH过BH与AH的交点,且与AB垂直。
过BH与AH交点的直线系方程为
(5x-4y-15)+λ(2x+2y-9)=0①,即
(5+2λ)x+(-4+2λ)y+(-15-9λ)=0 ②.
∴②与AB垂直,(即CH⊥AB),
代入①,得CH所在直线方程是3x-12y-1=0.
(2)直线AC是过AB与AH的交点且与BH垂直的直线,可设AC方程是过AB与AH交点的直线系方程
(4x+y-12)+λ(2x+2y-9)=0③,即
(4+2λ)x+(1+2λ)y+(-12-9λ)=0④,
∵AC⊥BH,
∴5(4+2λ)+(-4)(1+2λ)=0,得λ=-8。
代入④得直线AC的方程是4x+5y-20=0。
例5:已知2a-3b=1(a,b∈R),
求证:直线ax+by-5=0必过一个定点,并求出此定点。
代入ax+by-5=0,得(x-10)+b(3x+2y)=0①
∵b是实数,
∴方程①可看作过两相交直线交点的直线系方程,这两条直线分别是
l1∶x-10=0,
l2∶3x+2y=0,这两条直线的交点坐标为P(10,-15)。
∵P点坐标代入直线ax+by-5=0的左边得
a×10+b(-15)-5
=5(2a-3b)-5
=5×1-5
=0.
(注意2a-3b=1是已知条件),
∴直线ax+by-5=0过定点P(10,-15)。
例6已知直线l1∶2x-3y-1=0,l2:3x-y-2=0,l3:7x-7y-2009=0;求过l1、l2交点且与l3垂直的直线方程。
分析:过两直线l1,l2的交点的直线系方程为l1+λl2=0(λ∈R),根据已知条件,用待定系数法求出λ即可。
解:设λ为待定系数,则所求直线系方程是
(2x-3y-1)+λ(3x-y-2)=0,①
整理为
(2+3λ)x+(-3-λ)y+(-1-2λ)=0.②
∵方程②与直线l3垂直,其系数关系为
7(2+3λ)-7(-3-λ)=0→λ=-5/4 ③
③式代入②,所求直线为7x+7y-6=0。
例7:长度为1的线段AB(B在A的右边)在x轴上移动,点P(0,1)与A点连成直线,点Q(1,2)与B点连成直线,求直线PA和直线QB交点的轨迹方程;并作出草图。
解:如图J1-15.设交点为M(x,y,).A(a,0),则B(a+1,0),直线PA方程为
即x+ay=a.
直线BQ方程为
即2x+ay-2-2a=0.
∴动点M的参数方程为
2x+ay-2-2a=0
消去参数a得轨迹方程为
例8:已知定点O(0,0)和A(6,0),M是OA中点,以OA为一边作菱形OABC交于P点。当菱形变动时,求P点的轨迹方程。
解:如图J1-17。设动点为P(x,y),相关点为(x′,y′),A(6,0),则M(3,0)
∵|AB|=|AO|=6
∴(x-4)2+y2=4
所求轨迹方程为(x-4)2+y2=4.(去掉(6,0)和(2,0)两点).
例9:在△ABC中,B,C为定点,tgB·tgC=3ctgA+1,且ctgA≠0,求动点A的轨迹方程。
解:如图J1-18.设A(x,y),B(-a,0),C(a,0).
∵-3ctgA=1-tgB·tgC
∴tgB+tgC=3.
设角α=∠XCA
tgC=-tgα=-kAC
所求轨迹方程为:3x2+2ay-3a2=0.
例10.一动点到正三角形三边的距离的平方和等于常数,求动点的轨迹方程。
解:如图J1-19,取正三角形ABC的AB边的所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系.
设△ABC的边长为2a(a>0),则A(-a,0),B(a,0),
作PL⊥AB于L,PM⊥BC于
M,PN⊥AC于N.
∴|PL|2+|PM|2+|PN|2=λ2
(λ>0,λ为定值)。
AC所在直线方程为
BC所在直线方程为
故P点的轨迹方程为
当λ<a时,无轨迹。
例11:曲线C的方程是f(x,y)=0,那么曲线C关于直线y=x-2的对称曲线C′的方程是 [ ]
(A)f(y+2,x)=0.
(B)f(x-2,y)=0.
(C)f(y+2,x-2)=0.
(D)f(y-2,x+2)=0.
分析:根据示意图J1-20的直观思考。
∴f(x,y)=
f(y′+2,x′-2)=0
即f(y+2,x-2)=0.
∴应选择(C).