一元三次方程求根公式详解

首先，我们来探讨方程 \( x^3 = 1 \) 的解。它的根包括 \( x_1 = 1 \)，\( x_2 = -\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2} = \omega \)，以及 \( x_3 = -\frac{1}{2} - \frac{i\sqrt{3}}{2} = \omega^2 \)，其中 \( \omega \) 是复数单位。

对于更一般的形式 \( x^3 = A \)，其解为 \( x_1 = A^{\frac{1}{3}} \)，\( x_2 = A^{\frac{1}{3}}\omega \)，以及 \( x_3 = A^{\frac{1}{3}}\omega^2 \)，这里的 \( A \) 代表任意实数。

当面对 \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \)（\( a \neq 0 \)）时，我们可以通过除以 \( a \) 转化为 \( x^3 + ax^2 + bx + c = 0 \) 的标准形式。接下来，我们引入变换 \( x = y - \frac{a}{3} \)，消除二次项，得到 \( x^3 + px + q = 0 \)。

现在，假设 \( x = u + v \) 是这个方程的解，我们有 \( (u + v)(3uv + p) + u^3 + v^3 + q = 0 \)。若 \( u \) 和 \( v \) 满足 \( uv = -\frac{p}{3} \) 和 \( u^3 + v^3 = -q \)，则该等式成立。这相当于 \( u^3 \) 和 \( v^3 \) 是 \( y^2 + qy - \left(\frac{p}{3}\right)^3 = 0 \) 的根。

计算得到 \( y \) 的值为 \( A = -\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3} \) 和 \( B = -\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3} \)，对应的 \( u^3 \) 和 \( v^3 \) 分别为 \( A \) 或 \( A\omega \) 或 \( A\omega^2 \)，以及 \( B \) 或 \( B\omega \) 或 \( B\omega^2 \)。

然而，因为 \( uv = -\frac{p}{3} \)，我们只需考虑以下三组解：\( u_1 = A^{\frac{1}{3}}, v_1 = B^{\frac{1}{3}} \), \( u_2 = A^{\frac{1}{3}}\omega, v_2 = B^{\frac{1}{3}}\omega^2 \)，以及 \( u_3 = A^{\frac{1}{3}}\omega^2, v_3 = B^{\frac{1}{3}}\omega \)。

因此，原方程 \( x^3 + px + q = 0 \) 的三个根为：

x1: \( u_1 + v_1 = A^{\frac{1}{3}} + B^{\frac{1}{3}} \)

x2: \( u_2 + v_2 = A^{\frac{1}{3}}\omega + B^{\frac{1}{3}}\omega^2 \)

x3: \( u_3 + v_3 = A^{\frac{1}{3}}\omega^2 + B^{\frac{1}{3}}\omega \)

以上就是一元三次方程求根的完整过程，希望能帮助你理解并解决这类问题。