解:(1)两直线方程分别为:x-y=0, x+y=0
设动点M的坐标为M(x,y),则有
d1²=(x-y)²/2,d2²=(x+y)²/2
|d1²-d2²|=|(x-y)²-(x+y)²|/2=2
即 |(x-y)²-(x+y)²|=4
即 |xy|=1
此即动点M的轨迹方程,其图像为对称的2对双曲线
(2)两直线方程分别为:x*tanp-y=0, x*tanp+y=0
设动点M的坐标为M(x,y),则有
d1²=(x*tanp-y)²/(1+tan²p),d2²=(x*tanp+y)²/(1+tan²p)
d1²+d2²=2(x²*tan²p+y²)/(1+tan²p)=6
即 (x²*tan²p+y²)/(1+tan²p)=3
即 x²/[3(1+1/tan²p)]+y²/[3(1+tan²p)]=1
这是一个椭圆方程
设圆的切线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)
设切线在圆上的切点为C(m,n),则有
切线斜率为 y'=-m/n=(y1-y2)/(x1-x2) (1)
C在圆O上则有 m²+n²=3 (2)
A,B在椭圆上,则有
(x1²*tan²p+y1²)/(1+tan²p)=3 (3)
(x2²*tan²p+y2²)/(1+tan²p)=3 (4)
联立(1)(2)(3)(4),整理可得
x1x2+y1y2=0
∵OA²=x1²+y1²,OB²=x2²+y2²
AB²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=(x1²+x2²)+(y1²-y2²)-2(x1x2-y1y2)=(x1²+y1²)+(x2²+y2²)
∴OA²+OB²=AB²
即∠AOB=π/2,为定值,与p无关