乘和乘以的区别：

一、概念定义上的差别

乘：是一种基本的数学运算，表示两个数或数的集合按照某个规律进行相加。例如，3乘4就是多次加的操作，即三个4相加或者四个3相加。乘法也是一种基于数量和空间的缩放模型，通常涉及到扩大或减少值。有时我们也称之为乘法的数量化解释。

乘以：强调的是操作的顺序和结果。当说甲乘以乙时，意味着乙是乘数，甲是被乘数，其结果将被赋予一个数值或值域。乘以这个词更侧重于乘法的具体执行过程及其带来的变化效果。乘以的语义偏向于动作的施行与过程的推进。在实际运算中，它等同于“用……乘以……”。比如，“将某个数乘以另一个数”，强调执行计算的过程和得到的结果。这种用法通常带有明确的动作性，明确说明了乘法的执行顺序和方向。在运算表达中，它是不可省略的。在数学逻辑上，它可以表述为一个数值在另一个数值作用下发生了量的改变或拓展的过程。简单来说，“乘以”常常伴随着明确的主体和被乘的主体之间的关系表达。

二、实际应用中的不同理解

在实际应用中，“乘”和“乘以”往往需要根据语境来判断其具体含义。但在正式的数学语境中，“乘”更多地用于描述结果，“乘以”则更侧重于描述过程。例如，在表达数学公式时，“一个数乘另一个数”通常指结果；“一个数乘以另一个数”则强调具体的计算过程及其顺序。这种区别在某些精确的领域尤为明显，例如计算机编程和金融计算等领域都会特别注意。三、在数学中用于学习指引不同的路径区别根据学习策略的需要，"乘"与"乘以"可以被老师用于不同的教学场景或作为不同阶段的指导用语。

“乘”是初始概念，“乘以”可能作为后续进一步深化概念教学的方法指引或是学生对新知识的延伸认知依据从简易操作出发来开展更为复杂操作学习的一个引导词汇帮助建立由基础概念向高阶概念的过渡理解。总之在实际应用中应灵活使用这两个词以确保准确传达信息或理解其背后的数学逻辑。