向量的数量积、向量积和混合积是线性代数中的重要概念，它们分别代表了不同类型的向量交互方式。首先，内积（数量积或点乘）定义为两向量的标量乘积，记为[公式]，其证明可通过投影几何意义理解，即一方向量与另一方向量的投影。其特性包括投影没有方向性、伸缩性以及合成与分解规则。

外积（向量积或叉乘）定义为两向量形成的平行四边形面积，用[公式]表示。然而，由于面积具有方向性，与内积不同。证明中涉及的公式同样反映出这一特性。此外，它也满足伸缩性和合成分解原则。

当扩展到三维空间，我们有[公式]和[公式]，这两者进一步体现了向量在空间中的相互作用。混合积则涉及到三个向量，其结果是一个标量，用[公式]和[公式]表示，它在三维空间中的几何意义更为复杂。