y(x)是不等于ψ(t)的！y(x)应该等于ψ[t(x)]，这里t=t(x)是x=φ(t)的反函数。例如求旋转体体积时的被积表达式πy^2*dx=π{ψ[t(x)]}^2*dx=π{ψ[t(φ(t))]}^2*dφ(t)=π[ψ(t)]^2*φ'(t)*dtt(φ(t))=t——

旋转体的体积公式：v=(α+β+γ)。一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。

旋转体表面积的公式S=∫2πf(x)*(1+y2)dx，体积公式为Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。

在x轴上取x→x+△x【△x→0】区域，该区域绕x轴旋转一周得到的旋转曲面的面积，即表面积积分元。等于以f(x)为半径的圆周周长×弧线长度，即它可以看做是沿x轴方向上，将△x宽度的圆环带剪断，得到一个以圆环带周长为长，宽为x→x+△x弧线长度的矩形的面积。

以f(x)为半径的圆周长=2πf(x)，对应的弧线长=√(1+y^2)△x，故此，其面积=2πf(x)*√(1+y^2)△x

这个问题就得到表面积积分元，故此表面积为∫2πf(x)*(1+y^2)dx

体积，几何学专业术语。当物体占据的空间是三维空间时，所占空间的大小叫做该物体的体积。体积的国际单位制是立方米。一维空间物件（如线）及二维空间物件（如正方形）都是零体积的。

x^2/a^2+y^2/b^2=1 绕x轴旋转： y^2=b^2(1-x^2/a^2) V=∫-a,a π·y^2 dx =π·b^2 ∫-a,a (1-x^2/a^2) dx =π·4/3·a·b^2 ---- 绕y轴旋转： x^2=a^2(1-y^2/b^2) V=∫-b,b π·x^2 dy =πa^2 ∫-b,b (1-y^2/b^2)dy， =π·4/3·a^2·

旋转体表面积的公式S=∫2πf(x)*(1+y'2)dx，体积公式为Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。

在x轴上取x→x+△x【△x→0】区域，该区域绕x轴旋转一周得到的旋转曲面的面积，即表面积积分元。等于以f(x)为半径的圆周周长×弧线长度，即它可以看做是沿x轴方向上，将△x宽度的圆环带剪断，得到一个以圆环带周长为长，宽为x→x+△x弧线长度的矩形的面积。

以f(x)为半径的圆周长=2πf(x)，对应的弧线长=√(1+y'^2)△x，所以其面积=2πf(x)*√(1+y'^2)△x

这就得到表面积积分元，所以，表面积为∫2πf(x)*(1+y'^2)dx。

将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x，则函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱，该圆环柱的底面圆的周长为2πx，所以底面面积约为2πx*△x，该圆环柱的高为f(x)，所以当n趋向无穷大时，Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。