高中数学经典解题技巧

“三角变换与解三角形”的技巧性应用

湖南津市一中 周毅

【编者按】三角变换与解三角形是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下集合跟常用逻辑用语的经典解题技巧。

首先，解答三角变换与解三角形这两个方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：

1． 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。

2． 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。

3． 能利用两角差的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

4． 能运用和与差、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。

5． 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

6． 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。

好了，搞清楚了三角变换与解三角形的上述内容之后，下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。

一、三角变换及求值

考情聚焦：1．利用两角和差的三角函数公式进行三角变换、求值是高考必考内容。

2．该类问题出题背景选择面广，解答题中易出现与新知识的交汇题。

3．该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现，属中、低档题。

解题技巧： 1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形

（1）；

（2）角的变换；

（3）。

2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：

（1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；

（2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；

（3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。

例1：已知向量,且

(Ⅰ)求tanA的值； (Ⅱ)求函数R)的值域

解析：（Ⅰ）由题意得m·n=sinA-2cosA=0,

因为cosA≠0,所以tanA=2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得

因为xR,所以.当时，f(x)有最大值，

当sinx=-1时，f(x)有最小值-3

所以所求函数f(x)的值域是

二、正、余弦定理的应用

考情聚焦：1．利用正、余弦定理解决涉及三角形的问题，在近3年新课标高考中都有出现，预计将会成为今后高考的一个热点。

2．该类问题多数是以三角形或其他平面图形为背景，考查正、余弦定理及三角函数的化简与证明。

3．多以解答题的形式出现，有时也在选择、填空题中出现。

解题技巧：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。

2．在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。