当直线x-y=m与圆x²+y²=8相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径2√2。这意味着直线与x轴的交点X坐标为m，同时在横轴和纵轴上的截距绝对值相等，形成一个等腰直角三角形。

这种情况下，切线共有两条，对应m的值为4或-4。通过将直线方程x-y=m代入圆的方程x²+y²=8，得到(y+m)²+y²=8。化简后得到2y²+2my+2m²-8=0，利用二元一次方程的根的判别式(2m)²-4*(2m²-8)*2=0，进一步解得m=4或-4。

因此，当m=4或-4时，直线与圆相切，满足题目条件。这体现了数学中直线与圆的位置关系以及解方程的基本方法。

当m=4时，直线方程为x-y=4，它与圆x²+y²=8相切于一点；同样地，当m=-4时，直线x-y=-4也与圆相切于另一点。这两条直线都符合题目条件，且它们与x轴的交点分别为(4,0)和(-4,0)。

进一步分析表明，对于m=4或-4，直线与圆的切点恰好构成一个等腰直角三角形的两个顶点，其中圆心为直角三角形的直角顶点，圆的半径为直角三角形的直角边。

通过这种方式，我们可以直观地理解直线与圆相切的几何意义以及如何通过代数方法求解这类问题。这种结合几何直观与代数计算的方法，在解决数学问题时非常有效。