不可以。

竞争的“竞”字甲骨文字形，象二人竞逐。本义为“争竞，角逐，比赛”。

而“竟”的意思如下：乐曲尽为竟，谓愉悦；终了，完毕；整，从头到尾；居然。

所以从字义来讲，“竞选”以单个词汇来看，是不能用“竟”字的。

但如果要从某一句中选取，如“大家竟选了他做班长！”这种语境下省略的情况——竟(然)选了他——那就另说，此处用以修饰后面的“选”的动词，作为副词词性出现。