常见的相关系数为简单相关系数,简单相关系数又称皮尔逊相关系数或者线性相关系数。线性相关系数计算公式如图所示:
r值的绝对值介于0~1之间。通常来说,r越接近1,表示x与y两个量之间的相关程度就越强,反之,r越接近于0,x与y两个量之间的相关程度就越弱。
线性相关系数性质:
(1)定理: | ρXY | = 1的充要条件是,存在常数a,b,使得P{Y=a+bX}=1。
相关系数ρXY取值在-1到1之间,ρXY = 0时。
称X,Y不相关; | ρXY | = 1时,称X,Y完全相关,此时,X,Y之间具有线性函数关系; | ρXY | < 1时,X的变动引起Y的部分变动,ρXY的绝对值越大,X的变动引起Y的变动就越大, | ρXY | > 0.8时称为高度相关,当 | ρXY | < 0.3时称为低度相关,其它时候为中度相关。
(2)推论:若Y=a+bX,则有。
证明: 令E(X) = μ,D(X) = σ。
则E(Y) = bμ + a,D(Y) = bσ。
E(XY) = E(aX + bX) = aμ + b(σ + μ)。
Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y) = bσ。
若b≠0,则ρXY ≠ 0。
若b=0,则ρXY = 0。