连通的性质在数学中是一个基本概念，主要应用于实数集的子集以及空间的拓扑性质中。具体而言，有以下几点：

1. 实数集的子集被认为是连通的，当且仅当它是一个区间。这意味着，如果一个集合内的任意两点都可以通过一条连续的路径相连，那么这个集合是连通的。

2. 连通性是一个保持性质，即如果两个空间通过同胚映射相互对应，那么它们的连通性质也是一致的。因此，连通性成为衡量空间拓扑属性的一个重要标准。

3. 考虑一个空间X中的一族连通子集Ω，如果这些子集的并集覆盖整个空间X，且任意两个子集在闭包上的交集不为空，这意味着它们在空间中是“连在一起”的，那么整个空间X也被认为是连通的。

4. 如果两个空间X和Y各自连通，那么它们的笛卡尔乘积空间X×Y也是连通的。这意味着，连通性在空间组合中也得到了保持，进一步丰富了连通性质的应用场景。