1.此命题在欧氏空间成立，其它情况下不一定成立，暂时忽略；

2.在现有通行的公理框架中，这是定理，可以证明。

用反证法。如果原命题为假，则在平面内至少存在一条已知两点间的曲线比这两点间的线段更短。然后在这条曲线上找一个任意点，连接两端点（线段B和C）。这样出现一个三角形。因为两边之和大于第三边，所以线段A短于B+C。而这对于B和C 又可以继续细分曲线做出类似的线段EF 和GH，B>E+F, C>G+H....所以最后证明线段A是最短的。