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数学期望和方差的概念及计算公式分别是?
时间:2024-12-23 15:43:37
答案

数学期望E(X)和方差D(X)是概率论和数理统计中的两个重要概念,用于描述随机变量的数字特征。

数学期望E(X)的求法:

数学期望E(X)反映了随机变量X取值的平均水平。对于离散型随机变量,数学期望E(X)等于X的所有可能取值与其对应的概率的乘积之和。对于连续型随机变量,数学期望E(X)则是X的概率密度函数与X的乘积在整个实数范围内的积分。

公式表示为:

* 离散型:\(E(X) = \sum x_i p_i\),其中\(x_i\)是X的可能取值,\(p_i\)是\(x_i\)对应的概率。

* 连续型:\(E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx\),其中\(f(x)\)是X的概率密度函数。

方差D(X)的求法:

方差D(X)描述了随机变量X的取值与其数学期望E(X)的偏离程度。方差越大,说明X的取值越分散;方差越小,说明X的取值越集中。

方差的计算公式为:

* 离散型:\(D(X) = \sum [x_i - E(X)]^2 p_i\),其中\(x_i\)是X的可能取值,\(p_i\)是\(x_i\)对应的概率,\(E(X)\)是X的数学期望。

* 连续型:\(D(X) = \int_{-\infty}^{\infty} [x - E(X)]^2 f(x) dx\),其中\(f(x)\)是X的概率密度函数,\(E(X)\)是X的数学期望。

举例说明:

假设有一个离散型随机变量X,它有三个可能的取值:1、2、3,对应的概率分别为0.2、0.5、0.3。

* 首先计算数学期望E(X):\(E(X) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3 = 0.2 + 1 + 0.9 = 2.1\)。

* 然后计算方差D(X):\(D(X) = (1 - 2.1)^2 \times 0.2 + (2 - 2.1)^2 \times 0.5 + (3 - 2.1)^2 \times 0.3 = 0.243\)。

这个例子说明,随机变量X的平均取值是2.1,而其取值的分散程度(方差)为0.243。

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